Công thức Số phức Công thức Toán 12

Tải về

Số phức là một chủ đề trọng tâm trong chương trình toán THPT, và thường xuyên suất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia.

Số phức bao gồm nhiều thành phần để cấu tạo nên nó. Cụ thể tập số phức gồm các số có dạng a + bi. Trong đó a và b là các số thực và i là đơn vị ảo thỏa mãn. Vậy công thức số phức như thế nào? Mời các bạn hãy cùng Eballsviet.com theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Công thức Số phức

1. Số phức là gì?

- Số phức là trường hợp tổng quát hơn của số thực. Số thực là 1 trường hợp cụ thể của số phức (khi b = 0).

- Số phức có dạng: z = a + bi, (a, b ∈ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$), i² = -1 trong đó a là phần thức, b là phần ảo

- Tập các số phức là tập $\mathbb{C}\Rightarrow \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ $\mathbb{C}\Rightarrow \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$

Hai số phức bằng nhau: Hai số phức z = a + bi, w = c + di bằng nhau khi: $\left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$

Số phức liên hợp

$z=a+bi\Rightarrow \bar{z} =a-bi$ $z=a+bi\Rightarrow \bar{z} =a-bi$

Biểu diễn số phức

z = a + bi là điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ

Mô đun của số phức

$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

2. Công thức số phức cần nhớ

a. Công thức cộng, trừ, nhân, chia số phức

- Cho hai số phức z = a + bi, w = c + di, (a, b, c, d ∈ R), i² = -1 ta có:

Phép cộng số phức: z + w = (a + c) + (b + d)i

Phép trừ số phức: z - w = (a - c) + (b - d)i

Phép nhân số phức z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i

Phép chia số phức

$\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}=\frac{\left( c+di \right)\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{ad-bc}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.i,\left( a+bi\ne 0 \right)$ $\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}=\frac{\left( c+di \right)\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{ad-bc}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.i,\left( a+bi\ne 0 \right)$

b. Tính chất cần nhớ

- Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R), i² = -1

$z=\overline{z}\Leftrightarrow$ $z=\overline{z}\Leftrightarrow$ Số phức z là số thực
$z=-\overline{z}\Leftrightarrow$ $z=-\overline{z}\Leftrightarrow$ Số phức x là số thuần ảo

- Cho hai số phức z₁ = a + bi, z₂ = c + di, (a, b, c, d ∈ R) ta có:

$\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}$ $\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}$
$\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}$ $\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}$
$\overline{\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}},\overline{{{z}_{2}}}\ne 0$ $\overline{\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}},\overline{{{z}_{2}}}\ne 0$
$\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|$ $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|$
$\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|},{{z}_{2}}\ne 0$ $\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|},{{z}_{2}}\ne 0$
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$

Căn bậc hai của một số phức

Cho số phức z = a + bi. Tìm căn bậc hai của một số phức

- Nếu z = 0 ⇒ z có căn bậc hai là: 0

- Nếu z = a > 0 ⇒ z có căn bậc hai là: $\sqrt{a},-\sqrt{a}$ $\sqrt{a},-\sqrt{a}$

- Nếu z = a < 0 ⇒ z có căn bậc hai là: $i\sqrt{-a},-i\sqrt{a}$ $i\sqrt{-a},-i\sqrt{a}$

Nếu z = a + bi, b ≠ 0. Giả sử w = x + yi, y ∈ R là một căn bậc hai của số phức z ta có:

w² = z ⇔ (x + yi)² = a + bi

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - {y^2} = a} \\ {2xy = b} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - {y^2} = a} \\ {2xy = b} \end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình trên mỗi cặp (x; y) thu được cho ta một căn bậc hai của z.

3. Công thức giải nhanh số phức

Công thức giải nhanh phương trình $az+b\overline{z}=c$ $az+b\overline{z}=c$

$z=\frac{\overline{a}.c-b.\overline{c}}{{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}}$ $z=\frac{\overline{a}.c-b.\overline{c}}{{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}}$

4. Bất đẳng thức số phức

$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z₁ = k.z₂, k ≥ 0
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z₁ = k.z₂, k ≤ 0
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z₁ = k.z₂, k ≤ 0
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z₁ = k.z₂, k ≥ 0

Xem thêm: Chuyên đề số phức

Như vậy qua bài viết trên đây của Eballsviet.com các bạn đã hiểu rõ thế nào là số phức, công thức số phức. Từ đó có thêm nhiều kiến thức cũng như phương pháp có thể vận dụng để giải bài tập.