Công thức Số phức Công thức Toán 12
Số phức là một chủ đề trọng tâm trong chương trình toán THPT, và thường xuyên suất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia.
Số phức bao gồm nhiều thành phần để cấu tạo nên nó. Cụ thể tập số phức gồm các số có dạng a + bi. Trong đó a và b là các số thực và i là đơn vị ảo thỏa mãn. Vậy công thức số phức như thế nào? Mời các bạn hãy cùng Eballsviet.com theo dõi bài viết dưới đây nhé.
Công thức Số phức
1. Số phức là gì?
- Số phức là trường hợp tổng quát hơn của số thực. Số thực là 1 trường hợp cụ thể của số phức (khi b = 0).
- Số phức có dạng: z = a + bi, (a, b ∈ \(\mathbb{R}\)), i2 = -1 trong đó a là phần thức, b là phần ảo
- Tập các số phức là tập \(\mathbb{C}\Rightarrow \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\)
Hai số phức bằng nhau: Hai số phức z = a + bi, w = c + di bằng nhau khi: \(\left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.\)
Số phức liên hợp
\(z=a+bi\Rightarrow \bar{z} =a-bi\)
Biểu diễn số phức
z = a + bi là điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ
Mô đun của số phức
\(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)
2. Công thức số phức cần nhớ
a. Công thức cộng, trừ, nhân, chia số phức
- Cho hai số phức z = a + bi, w = c + di, (a, b, c, d ∈ R), i2 = -1 ta có:
Phép cộng số phức: z + w = (a + c) + (b + d)i
Phép trừ số phức: z - w = (a - c) + (b - d)i
Phép nhân số phức z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
Phép chia số phức
\(\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}=\frac{\left( c+di \right)\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{ad-bc}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.i,\left( a+bi\ne 0 \right)\)
b. Tính chất cần nhớ
- Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R), i2 = -1
\(z=\overline{z}\Leftrightarrow\) Số phức z là số thực
\(z=-\overline{z}\Leftrightarrow\) Số phức x là số thuần ảo
- Cho hai số phức z1 = a + bi, z2 = c + di, (a, b, c, d ∈ R) ta có:
\(\overline{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}\)
\(\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\)
\(\overline{\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}},\overline{{{z}_{2}}}\ne 0\)
\(\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\)
\(\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|},{{z}_{2}}\ne 0\)
\(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\)
Căn bậc hai của một số phức
Cho số phức z = a + bi. Tìm căn bậc hai của một số phức
- Nếu z = 0 ⇒ z có căn bậc hai là: 0
- Nếu z = a > 0 ⇒ z có căn bậc hai là: \(\sqrt{a},-\sqrt{a}\)
- Nếu z = a < 0 ⇒ z có căn bậc hai là: \(i\sqrt{-a},-i\sqrt{a}\)
Nếu z = a + bi, b ≠ 0. Giả sử w = x + yi, y ∈ R là một căn bậc hai của số phức z ta có:
w2 = z ⇔ (x + yi)2 = a + bi
\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - {y^2} = a} \\
{2xy = b}
\end{array}} \right.\)
Giải hệ phương trình trên mỗi cặp (x; y) thu được cho ta một căn bậc hai của z.
3. Công thức giải nhanh số phức
Công thức giải nhanh phương trình \(az+b\overline{z}=c\)
\(z=\frac{\overline{a}.c-b.\overline{c}}{{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}}\)
4. Bất đẳng thức số phức
\(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z1 = k.z2, k ≥ 0
\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z1 = k.z2, k ≤ 0
\(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z1 = k.z2, k ≤ 0
\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z1 = k.z2, k ≥ 0
Xem thêm: Chuyên đề số phức
Như vậy qua bài viết trên đây của Eballsviet.com các bạn đã hiểu rõ thế nào là số phức, công thức số phức. Từ đó có thêm nhiều kiến thức cũng như phương pháp có thể vận dụng để giải bài tập.

Chủ đề liên quan
Có thể bạn quan tâm
-
Văn mẫu lớp 9: Đoạn văn nghị luận về tương thân tương ái (10 mẫu)
-
Luật Xử lý vi phạm hành chính 2020
-
Sơ đồ tư duy môn Khoa học tự nhiên 7 sách Kết nối tri thức với cuộc sống
-
500 Câu hỏi thi công chức môn tiếng Anh có đáp án
-
Văn mẫu lớp 8: Kể lại những kỉ niệm ngày đầu tiên đi học
-
So sánh ADN và ARN về cấu tạo, cấu trúc và chức năng
-
Bộ đề thi học sinh giỏi môn Ngữ văn lớp 7 (40 đề)
-
Tập làm văn lớp 5: Tả cây xà cừ (Dàn ý + 8 mẫu)
-
Viết đoạn văn tiếng Anh về bất lợi sống ở thành phố (Từ vựng + 11 Mẫu)
-
Bộ đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 3 năm 2023 - 2024 (Sách mới)
Mới nhất trong tuần
-
Vòng tròn lượng giác
10.000+ -
Trắc nghiệm đúng sai Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
100+ -
Trắc nghiệm đúng sai Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
100+ -
Trắc nghiệm đúng sai Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
100+ -
Trắc nghiệm đúng sai Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
100+ -
Trắc nghiệm đúng sai Vectơ trong không gian
100+ -
Các dạng bài tập trắc nghiệm Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
100+ -
Các dạng bài tập trắc nghiệm Phương sai và độ lệch chuẩn
100+ -
Các dạng bài tập Xác suất có điều kiện
100+ -
Trắc nghiệm đúng sai Xác suất có điều kiện
100+