Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh Toán 12 Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 12

Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh Toán 12 là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 12 tham khảo.

Công thức giải nhanh Toán 12 gồm 46 trang tổng hợp các công thức giải nhanh như công thức tính đạo hàm, cực trị hàm số, .... Hi vọng qua tài liệu này giúp các bạn lớp 12 học tập chủ động, nâng cao kiến thức để đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm: Bài tập thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, 572 câu trắc nghiệm chuyên đề Hàm số nâng cao.

Công thức giải nhanh Toán 12

I. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.

a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∈ K x₁ < x₂ => f (x₁) < f(x₂).

b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∈ K x₁ < x₂ => f (x₁) < f(x₂).

2. Định lí

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c) Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K.

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn và có đạo hàm f'(x) > 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn.Nếu hàm số f liên tục trên đoạnvà có đạo hàm f'(x) < 0 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn

3. Định lí mở rộng:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b) Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i(i = 1,2, ...,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm x_itheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a. y = x³ - 3x² + 2 b. y = -x³ + 3x² - 3x + 2 c, y = x³ + 2x

II. Công thức tính đạo hàm

Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại \(x_0\), khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_0\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \((a;b)\) và \(x_0\in(a;b)\):
\(f'({x_0})\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\)=\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) \((\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)\)
Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì nó liên tục tại điểm đó.

Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Ta có:

Bảng đạo hàm

\(x^a{ }^{\prime}=a x^{a-1}\)	\(\left(u^a\right)^{\prime}=a \cdot u^{\prime} \cdot u^{a-1}\)
\((\sin x)^{\prime}=\cos x\)	\((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)
\((\cos x)^{\prime}=-\sin x\)	\((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)
\((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}=1+\tan ^2 x\)	\((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}=u^{\prime} \cdot\left(1+\tan ^2 u\right)\)
\((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^2 x}=-\left(1+\cot ^2 x\right)\)	\((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^2 u}=-u^{\prime} \cdot\left(1+\cot ^2 u\right)\)
\(\log _a x^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}\)	\(\log _a u^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)
\(\ln x{ }^{\prime}=\frac{1}{x}\)	\(\ln u^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)
\(a^x{ }^{\prime}=a^x \cdot \ln a\)	\(a^u{ }^{\prime}=a^u \cdot u^{\prime} \cdot \ln a\)
\(e^x{}^{\prime}=e^x\)	\(\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u\)