Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số Tài liệu ôn tập chương 3 môn Toán lớp 11
Mời quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 cùng tham khảo tài liệu Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số được Eballsviet.com đăng tải ngay sau đây.
Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số là tài liệu cực kì hữu ích, gồm 14 trang hướng dẫn giải các bài tập nâng cao giới hạn của dãy số được chọn lọc từ các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia. Hi vọng tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh lớp 11 bổ sung kiến thức về phần dãy số trong các kì thi học sinh giỏi và tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc. Mời các bạn cùng tham khảo.
Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB
NỘI DUNG
I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số
1. Kiến thức sử dụng:
Định nghĩa:
*
lim 0, :
n n
u L N N n N u L
Sử dụng:
- Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi > 0,
tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n N ta có |x
m
– x
n
| < .
- Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| q|x-y| với q là
hằng số 0 < q < 1 và {x
n
} bị chặn thì {x
n
} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| q < 1 thì ta
luôn có điều này.
Ý tưởng chính: Đánh giá
1
; 1
n n
u L q u L q
và
1 1
; 1
n n n n
u u q u u q
Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm.
2. Các ví dụ:
Bài 1: (Đề thi HSG Quảng Bình) Cho dãy số
1
1
3
u
và
2
1
1
1
2
n n
u u
. Tìm giới hạn dãy
số?
HD: Chứng minh:
1 0
n
u
Giải phương trình
2
1
1 1 3
2
x x x a
Xét
2 2
1 3
1 1
2 2 2 2
n
n n n n
u a
u a u a u a u a
Suy ra
lim 1 3
n
u
Bài 2: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực
( )
n
u
xác định bởi:
1
u a
và u
n+1
= ln(3+cosu
n
+ sinu
n
) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số (u
n
)có giới hạn hữu hạn.
HD: Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì
cos sin
'( )
3 sin cos
x x
f x
x x
Từ đó, sử dụng đánh giá
| cos sin | 2, | sin cos | 2
x x x x
ta suy ra
.1
23
2
|)('|
qxf
Áp dụng định lý Lagrange với m > n N, ta có
|u
m
– u
n
| = |f(u
m-1
) – f(u
n-1
)|
q|u
m-1
-u
n-1
|
…
q
n-1
|u
m-n+1
– u
1
|.
Do dãy (u
n
) bị chặn và q < 1 nên dãy (x
n
) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn
hữu hạn.
Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB
Bài 3: (Đề thi vô địch Nga 1982) Cho dãy số
1
1
u
và
1
1
1
n
n
u
u
. Tìm giới hạn dãy
số?
HD: Chứng minh:
0 1
n
u
Giải phương trình
1 5 1
1 2
x x a
x
Xét
1
1 1 2 2
1 1 1
1 5 1 5
n
n n
n n
u a
u a u a
u a u
Suy ra
5 1
lim
2
n
u a
Bài 4: Cho dãy số (u
n
) định bởi u
1
(1, 2) và u
n+1
= 1 + u
n
– u
n
2
/2. Chứng minh
rằng (u
n
) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
HD: Chứng minh: rằng 1 < u
n
< 3/2
Giải phương trình
2
1
1 2
2
x x x x a
Xét
2
1 1
2 1 2 2 1
| 2 | |1 2 | | 2 || | | || 2 |
2 2 4
n n
n n n n n
u u
u a u u u u
Suy ra
lim 2
n
u
3. Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho dãy số
1
2012
u
và
1
1
4 3
n
n
u
u
. Tìm giới hạn dãy số?
Bài 2: Cho dãy số
1
u a
và
2 2 2
1
2012
ln 2012 2012
3
n n
u u
.Chứng minh dã số có giới
hạn.
II) Phương pháp sử dụng công thức, tính chất của các dãy số đặc biệt
1. Kiến thức sử dụng:
- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân
- Các công thức đối với các dãy số quen thuộc:
1 1 1
( 1) 1
n n n n
1
1 2 3 ... ( 1)
2
n n n
2 2 2 2
1
1 2 3 ... ( 1)(2 1)
6
n n n n
2
3 3 3 3
( 1)
1 2 3 ...
2
n n
n
Ý tưởng chính: Đưa các dãy số về các dãy số quen thuộc
2. Các ví dụ:

Giới hạn của dãy số
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB
Bài 1: Cho dãy số
1 1 1
...
1.2 2.3 ( 1)
n
u
nn
.Tìm giới hạn dãy số?
HD:
1 1 1 1 1 1 1
... 1
1 2 2 3 1 1
n
u
n n n
Suy ra
lim 1
n
u
Bài 2: Cho dãy số
2
2 2 2
2
2 2 2
1 3 5 .... 2 1
2 4 6 .... 2
n
n
u
n
.Tìm giới hạn dãy số?
HD:
2
2 2 2
2
2 2 2
2 (2 1)(4 1)
1 2 3 .... 2
(4 1)
6
1
( 1)(2 1)
2( 1)
2 4 6 .... 2
4.
6
n
n n n
n
n
u
n n n
n
n
Suy ra
lim 1
n
u
.
Bài 3: Cho dãy số
1
5
u
và
1
5 4
2
n
n
n
u
u
u
. Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh:
4
n
u
Ta có:
1
1
4
1 6
4 1
2 4 4
n
n
n n n
u
u
u u u
Xét
1 1 5
4
4 5 6 1
n n
n
n
x u
u
Suy ra
lim 4
n
u
Bài 4: Cho dãy số
1
2
3
u
và
1
2(2 1) 1
n
n
n
u
u
n u
. Tìm giới hạn dãy số
1
n
n n
i
x u
?
HD: Đặt
1 (2 1)(2 1) 1 1
2 2 1 2 1
n n n
n
n n
v v u
u n n
Suy ra
lim 1
n
x
Bài 5: Cho dãy số
1
1
u
và
2
1
(0 1)
n
n n
u u a a
. Tìm giới hạn dãy số?
HD: Chứng minh:
2 2 2 2 2 2 1
1 2 3
1; 1 ; 1 ;...; 1 ...
n
n
u u a u a a u a a a
Suy ra:
1
1
n
n
a
u
a
Vậy
1
lim
1
n
u
a
Bài 6: Cho dãy số
1
2011
u
và
2
1 1
n n n
u n u u
. Tìm giới hạn dãy số?
HD: Ta có:
2
1
1
2
1
0
n
n n
n u
u u
n
Mặt khác:
1 2 1
2 2 2
( 1)( 1) ( 1)( 1)( 2) 1 1
... 2011
( 1) 2 2
n n n
n n n n n n n n
u u u u
n n n n n
Vậy
2011
lim
2
n
u
Liên kết tải về
Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số
246,7 KB
Tải về
Có thể bạn quan tâm
-
Công thức tính phần trăm khối lượng
-
Bài tập Cộng, trừ đa thức một biến (Có đáp án)
-
Đoạn văn tả cảnh bằng tiếng Anh (8 mẫu)
-
Đáp án tự luận Mô đun 7 THCS - Đáp án dưới Video Module 7 THCS
-
Các chất tham gia phản ứng tráng gương
-
Đáp án tự luận Mô đun 8 THCS - Đáp án tập huấn Module 8
-
Nghị luận về câu nói Trong rừng có rất nhiều lối đi, ta chọn lối đi chưa có dấu chân người
-
Cách phân biệt Oxit axit và Oxit bazơ
-
Văn mẫu lớp 12: Nghị luận về vấn đề ô nhiễm không khí hiện nay (Dàn ý + 6 Mẫu)
-
Tổng hợp công thức Hóa học lớp 12 - Các công thức Hóa học 12
Xác thực tài khoản!
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Sắp xếp theo

Đóng
Chỉ thành viên Download Pro tải được nội dung này!
Download Pro - Tải nhanh, website không quảng cáo!
Tìm hiểu thêm
Mới nhất trong tuần
-
Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh trắc nghiệm lượng giác
50.000+ -
Bộ đề thi khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 11 năm 2023 - 2024
10.000+ -
Phương trình tiếp tuyến
1.000+ -
Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục
100+ -
Phiếu bài tập cuối tuần Toán 11
100+ -
Bài tập đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song
10.000+ -
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
1.000+ -
Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
1.000+ -
Tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác: Lý thuyết và bài tập
10.000+ -
Xét hàm số liên tục trên một tập
100+