Tổng hai lập phương: Công thức và bài tập Hằng đẳng thức số 6

Bài 1: Rút gọn biểu thức

a) (x + 3)(x² - 3x + 9) - (54 + x³)

b) (x + 4)(x² - x + 7) - (x³ + 3x² + 3x + 1³) - 26

c) (a - b + 1)[a² + b² + ab - (a + 2b) + 1] - (a³ + 1)

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a) (4x - 2)³ + 8

b) a⁶ - b⁶

c) (a + b)³ + (a - b)³

Bài 3: Cho x, y, a và b thỏa mãn các đẳng thức sau: x + y = a + b (1) và x² + y² = a² + b² (2)

Chứng minh rằng : x³ + y³ = a³ + b³

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì ta có đẳng thức a ³ + b ³ + c ³ = 3abc

Bài 5: Cho các biến x, y thỏa mãn x+y =1. Hãy tính giá trị biểu thức sau: B = x³ + y³ + 3xy

4. Đáp án bài tập tổng hai lập phương

Bài 1 

a) (x + 3)(x ² - 3x + 9) - (54 + x ³ )

= (x+3)(x ² - 3x + 3 ² ) - (54 + x ³ )

= (x ³ + 3 ³ ) - (54 + x ³ )

= 3 ³ - 54

= 27 - 54 = -27

b) (x + 4)(x² - x + 7) - (x³ + 3x² + 3x + 1³) - 26

= ((x +1 ) + 3)[(x + 1)² - 3(x + 1) + 3² ] - (x +1)³ - 26

= [(x + 1)³ + 3³] - (x +1)³ - 26

= 3³ - 26 = 27 - 26

=1

c) (a - b + 1)[a² + b² + ab - (a + 2b) + 1] - (a³ + 1)

= [a+(1 - b)][a² - a(1 - b) + (1 - b)² ] - (a³ + 1)

= [a³ + (1 - b)³] - (a³ + 1)

= (1 - b)³ - 1

Bài 2 

a) (4x - 2)³ + 8 = (4x - 2)³ + 2³

= [(4x - 2) + 2][(4x - 2)² - 2(4x - 2)+ 2²]

= 4x[(4x - 2)² - 2(4x - 2)+ 4]

= 16x[(2x - 1)² - 2x +2]

b) a⁶ - b⁶

= (a²)³ - (b²)³

= (a² - b² )(a⁴ - a²b² + b⁴)

= (a - b)(a + b)(a⁴ - a²b² + b⁴)

c) (a + b)³ + (a - b)³

= [(a + b) + (a - b)][(a + b)² - (a + b)(a - b) + (a - b)²]

= 2a[(a² + 2ab + b²) - (a² - b²) + (a² - 2ab +b²)]

= 2a( a² + 3b²)

Bài 3 

Ta có:

x + y = a + b ⇒ ( x + y)² = (a + b)²

⇔ x² + 2xy + y² = a² + 2ab + b²

Mà từ (2) ta có : x² + y² = a² + b² ⇒ 2xy = 2ab ⇔ xy = ab.

Bài 4

Ta có:

a³ + b³ + c³ - 3abc

= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³ - 3abc

= (a + b)³ + c³ - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)((a + b)² - c(a + b) + c²) -3ab(a + b + c)

= (a+b+c)( a² + 2ab + b² - (ac + bc) + c² - 3ab)

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)

Vậy suy ra : a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)

Mà theo giả thuyết : a + b +c = 0

Do đó : a³ + b³ + c³ = 3abc (điều phải chứng minh)

* Chú ý: đẳng thức a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac) có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng.

Bài 5

Ta có :

x³ + y³ + 3xy

= (x + y)(x² - xy + y²) + 3xy

= 1.(x² - xy + y² ) + 3xy

= x² + 2xy + y²

= (x+y) ²

= 1

5. Bài tập tổng hai lập phương (Tự luyện)

Bài 1. Khai triển nào sau đây là đúng?

A. a³ + b³ = (a + b)³;
B. a³ + b³ = (a + b)(a² + ab + b²) ;
C. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²);
D. a³ + b³ = (a + b)(a² – 2ab + b²).

Bài 2. Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: (2x + 3y)(4x² – … + 9y²) = 8x³ + 27y³.

A. 5xy;
B. 6xy;
C. –6xy;
D. 12xy.

Bài 3. Khai triển nào sau đây là đúng?

A. 8x³ + 1 = (8x + 1)(8x² – 8x + 1);
B. 8x³ + 1 = (8x + 1)(64x² – 8x + 1);
C. 8x³ + 1 = (2x + 1)(4x² – 4x + 1);
D. 8x³ + 1 = (2x + 1)(4x² – 2x + 1).

Bài 4. Giá trị của biểu thức A = x³ – 16 + (16 + 4x + x²)(4 – x) là

A. một số lẻ;
B. một số chẵn;
C. một số chia hết cho 5;
D. một số chính phương.

Bài 5. Biểu thức H = (a + b)[(a – b)² + ab] sau khi rút gọn là

A. a³ + b³;
B. a³ – b³;
C. (a + b)²;
D. (a + b)³.

Bài 6 Cho x + y = – 1. Giá trị biểu thức A = x³ – 3xy + y³ là

A. – 1 – 3xy;
B. – 1;
C. –2;
D. –3.