Lập phương của một hiệu: Công thức và Bài tập Hằng đẳng thức số 5

Lập phương của một hiệu là hằng đẳng thức thứ 5 thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em được học trong chương trình Toán THCS.

Công thức lập phương của một hiệu được vận dụng để giải quyết các bài toán phức tạp một cách cực kì hiệu quả. Chính vì vậy trong bài học hôm nay Eballsviet.com sẽ giới thiệu đến các bạn công thức lập phương của một hiệu, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án giải chi tiết. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: bài tập hằng đẳng thức, bài tập bình phương của một tổng, Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Lập phương của một hiệu

1. Lập phương của một hiệu là gì?

Lập phương của một hiệu chính bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần tích giữa số thứ nhất bình phương và số thứ 2, cộng với 3 lần tích giữa số thứ nhất và số thứ hai bình phương, trừ đi lập phương số thứ 3.

2. Công thức lập phương của một hiệu

Với M, N là một biểu thức hoặc một số bất kì, ta có:

(M – N)³ = M³ – 3M²N + 3MN² – N³

Ví dụ: ( M – 2)² = M³ – 3.M².2 + 3M.2² – 2³ = M³ – 6M² + 12M – 8

* Công thức mở rộng của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

(M – N )³ = M³ – N³ – 3MN(M-N)

Ví dụ: (2 – N)³ = 2³ – N³ – 3.2.N(2 - N) = 8 – N³ – 6N(2-N) = 8 – 12N + 6N² – N³

3. Các dạng bài tập lập phương của một hiệu

a. Dạng 1: Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

*Phương pháp giải: Áp dụng công thức của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để làm được bài toán

Ví dụ: Đưa biểu thức sau về dạng lập phương của một hiệu

729 – 243n + 27n² – n³

Gợi ý đáp án 

Có: 729 – 243n + 27n² – n³ = 9³ – 3.9².n + 3.9.n² – n³ = (9 – n)³

Bài tập luyện tập

Bài 1: Đưa biểu thức sau về dạng lập phương của một hiệu

a) 8n³ – 36n² + 54n – 27

b) m³ – 21m² + 147m - 343

c) 27 – 27m + 9m² – n³

d) (m + 2 )³ – 3a(m+2)² + 3a²(m+2) – a³

Gợi ý đáp án 

a) 8n³ – 36n² + 54n – 27

Ta có: 8n³ – 36n² + 54n – 27 = (2n)³ - 3.(2n)².3 + 3.2n.3² - 3³ = (2n - 3)³

b) m³ – 21m² + 147m - 343

Ta có: m³ – 21m² + 147m - 243 = m³ - 3.m².7 + 3.m.7² - 7³ = (m - 7)³

c) 27 – 27m + 9m² – n³

Ta có: 27 – 27m + 9m² – n³ = 3³ - 3.3².n + 3.3.n² - n³ = (3 - n)³

d) (m + 2)³ – 3a(m+2)² + 3a²(m+2) – a³

Ta có: (m + 2)³ – 3.(m+2)².a + 3.(m+2).a² – a³ = (m + 2 - a)³

b. Dạng 2: Khai triển hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

*Phương pháp giải: áp dụng công thức của hằng đẳng thức đáng nhớ để làm được bài toán

Ví dụ: Khai triển hằng đẳng thức sau

(2 – 2m)³

Giải

Có: (2 – 2m)³ = 2³ – 3.2².2m + 3.2.(2m)² - (2m)³ = 8 – 24m + 24m² - 8m³

Bài tập luyện tập

Khai triển hằng đẳng thức lập phương của một hiệu sau

a) (1 – 4m)³

b) (2m – 5)³

c) (n + 2 – a)³

d) (3n – 2a)³

Gợi ý đáp án

a) (1 – 4m)³

= 1³ - 3.1².4m + 3.1.(4m)² - (4m)³

= 1 - 12m + 48m² - 64m³

b) (2m – 5)³

= (2m)³ - 3.(2m)².5 + 3.2m.5² - 5³

= 8m³ - 60m² + 150m - 125

c) (n + 2 – a)³

= [(n + 2) – a]³

= (n + 2)³ - 3.(n+2)².a + 3.(n+2).a² - a³

d) (3n – 2a)³

= (3n)³ - 3.(3n)².2a + 3.3n.(2a)² - (2a)³

= 27n³ - 54n²a + 36na² - 8a³

c. Dạng 3: Tính nhanh giá trị biểu thức dựa vào hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

*Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ và giả thiết đề bài cho để giải bài toán

Ví dụ: Cho m = 2. Tính nhanh giá trị biểu thức

X = m³ – 3m² + 3m – 1

Gợi ý đáp án 

Nếu ta trực tiếp thay m = 2 vào biểu thức để tính thì sẽ gây khó khăn trong quá trình tính toán và dễ nhầm lẫn.

Ta nhận thấy biểu thức m³ – 3m² + 3m – 1 có thể đưa về dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu. Vì vậy, trước tiên ta sẽ đưa biểu thức về dạng lập phương của một hiệu rồi mới thay giá trị m = 2 vào biểu thức

Ta có: X = m³ – 3m² + 3m – 1 = m³ – 3.m².1 + 3m.1² – 1³ = (m – 1)³

Thay m = 2 vào biểu thức X ta được

X = (2 – 1)³ = 1³ = 1

Vậy X = 1 khi m = 2