Lập phương của một hiệu: Công thức và Bài tập Hằng đẳng thức số 5
Lập phương của một hiệu là hằng đẳng thức thứ 5 thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em được học trong chương trình Toán THCS.
Công thức lập phương của một hiệu được vận dụng để giải quyết các bài toán phức tạp một cách cực kì hiệu quả. Chính vì vậy trong bài học hôm nay Eballsviet.com sẽ giới thiệu đến các bạn công thức lập phương của một hiệu, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án giải chi tiết. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: bài tập hằng đẳng thức, bài tập bình phương của một tổng, Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.
Lập phương của một hiệu
1. Lập phương của một hiệu là gì?
Lập phương của một hiệu chính bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần tích giữa số thứ nhất bình phương và số thứ 2, cộng với 3 lần tích giữa số thứ nhất và số thứ hai bình phương, trừ đi lập phương số thứ 3.
2. Công thức lập phương của một hiệu
Với M, N là một biểu thức hoặc một số bất kì, ta có:
(M – N)3 = M3 – 3M2N + 3MN2 – N3
Ví dụ: ( M – 2)2 = M3 – 3.M2.2 + 3M.22 – 23 = M3 – 6M2 + 12M – 8
* Công thức mở rộng của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
(M – N )3 = M3 – N3 – 3MN(M-N)
Ví dụ: (2 – N)3 = 23 – N3 – 3.2.N(2 - N) = 8 – N3 – 6N(2-N) = 8 – 12N + 6N2 – N3
3. Các dạng bài tập lập phương của một hiệu
a. Dạng 1: Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
*Phương pháp giải: Áp dụng công thức của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để làm được bài toán
Ví dụ: Đưa biểu thức sau về dạng lập phương của một hiệu
729 – 243n + 27n2 – n3
Gợi ý đáp án
Có: 729 – 243n + 27n2 – n3 = 93 – 3.92.n + 3.9.n2 – n3 = (9 – n)3
Bài tập luyện tập
Bài 1: Đưa biểu thức sau về dạng lập phương của một hiệu
a) 8n3 – 36n2 + 54n – 27
b) m3 – 21m2 + 147m - 343
c) 27 – 27m + 9m2 – n3
d) (m + 2 )3 – 3a(m+2)2 + 3a2(m+2) – a3
Gợi ý đáp án
a) 8n3 – 36n2 + 54n – 27
Ta có: 8n3 – 36n2 + 54n – 27 = (2n)3 - 3.(2n)2.3 + 3.2n.32 - 33 = (2n - 3)3
b) m3 – 21m2 + 147m - 343
Ta có: m3 – 21m2 + 147m - 243 = m3 - 3.m2.7 + 3.m.72 - 73 = (m - 7)3
c) 27 – 27m + 9m2 – n3
Ta có: 27 – 27m + 9m2 – n3 = 33 - 3.32.n + 3.3.n2 - n3 = (3 - n)3
d) (m + 2)3 – 3a(m+2)2 + 3a2(m+2) – a3
Ta có: (m + 2)3 – 3.(m+2)2.a + 3.(m+2).a2 – a3 = (m + 2 - a)3
b. Dạng 2: Khai triển hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
*Phương pháp giải: áp dụng công thức của hằng đẳng thức đáng nhớ để làm được bài toán
Ví dụ: Khai triển hằng đẳng thức sau
(2 – 2m)3
Giải
Có: (2 – 2m)3 = 23 – 3.22.2m + 3.2.(2m)2 - (2m)3 = 8 – 24m + 24m2 - 8m3
Bài tập luyện tập
Khai triển hằng đẳng thức lập phương của một hiệu sau
a) (1 – 4m)3
b) (2m – 5)3
c) (n + 2 – a)3
d) (3n – 2a)3
Gợi ý đáp án
a) (1 – 4m)3
= 13 - 3.12.4m + 3.1.(4m)2 - (4m)3
= 1 - 12m + 48m2 - 64m3
b) (2m – 5)3
= (2m)3 - 3.(2m)2.5 + 3.2m.52 - 53
= 8m3 - 60m2 + 150m - 125
c) (n + 2 – a)3
= [(n + 2) – a]3
= (n + 2)3 - 3.(n+2)2.a + 3.(n+2).a2 - a3
d) (3n – 2a)3
= (3n)3 - 3.(3n)2.2a + 3.3n.(2a)2 - (2a)3
= 27n3 - 54n2a + 36na2 - 8a3
c. Dạng 3: Tính nhanh giá trị biểu thức dựa vào hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
*Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ và giả thiết đề bài cho để giải bài toán
Ví dụ: Cho m = 2. Tính nhanh giá trị biểu thức
X = m3 – 3m2 + 3m – 1
Gợi ý đáp án
Nếu ta trực tiếp thay m = 2 vào biểu thức để tính thì sẽ gây khó khăn trong quá trình tính toán và dễ nhầm lẫn.
Ta nhận thấy biểu thức m3 – 3m2 + 3m – 1 có thể đưa về dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu. Vì vậy, trước tiên ta sẽ đưa biểu thức về dạng lập phương của một hiệu rồi mới thay giá trị m = 2 vào biểu thức
Ta có: X = m3 – 3m2 + 3m – 1 = m3 – 3.m2.1 + 3m.12 – 13 = (m – 1)3
Thay m = 2 vào biểu thức X ta được
X = (2 – 1)3 = 13 = 1
Vậy X = 1 khi m = 2

Chủ đề liên quan
Có thể bạn quan tâm
-
Thuyết minh về Dinh Độc Lập (2 Dàn ý + 10 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 9: Đoạn văn nghị luận về tương thân tương ái (10 mẫu)
-
Luật Xử lý vi phạm hành chính 2020
-
Sơ đồ tư duy môn Khoa học tự nhiên 7 sách Kết nối tri thức với cuộc sống
-
500 Câu hỏi thi công chức môn tiếng Anh có đáp án
-
Văn mẫu lớp 8: Kể lại những kỉ niệm ngày đầu tiên đi học
-
So sánh ADN và ARN về cấu tạo, cấu trúc và chức năng
-
Bộ đề thi học sinh giỏi môn Ngữ văn lớp 7 (40 đề)
-
Tập làm văn lớp 5: Tả cây xà cừ (Dàn ý + 8 mẫu)
-
Viết đoạn văn tiếng Anh về bất lợi sống ở thành phố (Từ vựng + 11 Mẫu)
Mới nhất trong tuần
-
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8
10.000+ -
Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán cấp Tỉnh, TP (Có đáp án)
10.000+ -
Bài tập toán về phân thức đại số lớp 8
10.000+ -
Bài toán thực tế lớp 8
10.000+ -
Bài tập Tết môn Toán lớp 8 năm 2024 - 2025 (Có đáp án)
5.000+ -
Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 cấp huyện
100.000+ 5 -
Bài tập hằng đẳng thức lớp 8
100.000+ 18 -
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử
5.000+ -
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng phần trăm
10.000+ -
Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
100.000+ 6