Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích Giải số phức bằng hình học giải tích

Tải về Bình luận

Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích là tài liệu hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích. Đây là lớp các bài toán vận dụng cao số phức và thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia.

Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh lớp 12 có thêm nhiều tài liệu tham khảo, củng cố kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học kì và thi THPT Quốc gia đạt kết quả cao. Đồng thời đây cũng là tài liệu hữu ích giúp quý thầy cô có thêm nhiều tư liệu trong giảng dạy. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Hướng dẫn giải bài tập số phức bằng hình học giải tích

Trang 1

MỞ ĐẦU

Trong chương trình Toán THPT, phần Đại số mà cụ thể là phần Số học, ở chương

trình lớp 12, học sinh được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số thông qua

việc cung cấp một tập hợp số, gọi là Số phức. Trong chương này, học sinh đã bước đầu

làm quen với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các

số phức. Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức

,( ; , 1)

z x yi x y i

    

với mỗi

điểm

( ; )M x y

trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

, ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên

hệ với nhau khá “gần gũi”. Hơn nữa, nhiều bài toán Đại số bên Số phức, khi chuyển

sang Hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minh họa một cách rất

trực quan, sinh động và cũng giải được bằng Hình học với phương pháp rất đẹp. Đặc

biệt, trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng và THPT Quốc gia những năm gần đây, việc sử

dụng phương pháp Hình học để giải quyết các bài toán về Số phức là một trong những

phương pháp khá hay và hiệu quả, đặc biệt là các bài toán về Cực trị trong số phức. Hơn

nữa, với những bài toán Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễn

được trên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng.

Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung và

Số phức nói riêng sang bài toán Hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều

lúng túng, vì vậy việc giải các bài toán về Số phức gây ra khá nhiều khó khăn cho học

sinh.

Bài toán Cực trị Số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như

dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, tôi muốn gợi ý cho

học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ bài toán Đại

số sang Hình học cho học sinh, giúp các em có cái nhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi

đó và vận duy tư duy này cho những bài toán khác. Với mục tiêu đó, trong chuyên đề

này, tôi chỉ tập trung giải quyết bài toán theo hướng Hình học. Không đặt nặng việc so

sánh phương pháp nào nhanh hơn, tối ưu hơn phương pháp nào.

Trang 2

II. NỘI DUNG

1. Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu

1.1 Các định nghĩa và kí hiệu

a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng

1.

Kí hiệu:

Như vậy,

1.i  

b) Số phức: Cho

, ,x y

biểu thức

z x yi 

gọi là một (dạng đại số) số phức.

Phần thực;

Phần ảo

c) Với mỗi số phức

,z x yi 

giá trị biểu thức

2 2

x y

gọi là mô đun của

Kí

hiệu:

. Như vậy,

2 2

.z x y

 

d) Với mỗi số phức

.z x yi 

Số phức

' ( )z x y i x yi    

gọi là số phức liên

hợp của số phức

Kí hiệu

. Như vậy,

z x yi 

thì

.z x yi 

e) Với mỗi số phức

.z x yi 

Xác định điểm

( ; )M x y

trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

. Điểm

gọi là biểu diễn hình học của số phức

Để cho tiện, trong tập tài liệu này, tôi kí hiệu

( ; ) ( )M x y M z

hay đơn giản

( )M z

để chỉ

là điểm biểu diễn cho số phức

.z x yi 

1.2 Các phép toán trên tập hợp số phức

Cho hai số phức

, ' ' ' .( , , ', ' , 1)

z x yi z x y i x y x y i

      

+ Phép cộng:

' ( ') ( ')z z x x y y i    

+ Phép trừ:

' ( ') ( ')z z x x y y i    

+ Phép nhân:

. ' ( ' ') ( ' ' )z z xx yy xy x y i   

+ Phép chia:

. '

'. '

z z z

z z



với

' 0 0 .z i 

1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc.

+ Với

( )M z

thì

.z OM

+ Với

( ), ' '( ')M M z M M z 

thì

' '.z z MM 

+ Với

( ), ( ),

A B

A A z B B z 

trong đó

A B

z z

là hai số phức khác nhau cho trước

thì tập hợp các điểm

( )M M z

thỏa mãn hệ thức

A B

z z z z  

là đường trung trực

của đoạn

.AB

+ Với

0 0 0

( ),R 0

M M z

 

, tập hợp các điểm

( )M M z

thỏa mãn hệ thức

z z

 

là đường tròn tâm

bán kính R.

Trang 3

2. Các bài toán

BÀI TOÁN 1: Cho số phức

0 0 0

, ,z a b i a b

  

và tập hợp các số phức

z x yi 

thỏa mãn hệ thức:

1 2

.z z z z  

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

z z

b) Tìm

để

z z

nhỏ nhất

Nhận xét:

+ Gọi

( )M M z

0 0 0 1 2

( ); ( ); ( )M M z A A z B B z  

thì

0 0

z z MM 

+ Từ đẳng thức

1 2

.z z z z  

Suy ra,

thuộc trung trực



của đoạn AB.

Bài toán chuyển thành:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

M M

với

.M 

b) Tìm

M 

sao cho

M M

nhỏ nhất

+ Ta thấy, với mọi điểm

M 

thì

0 0

,M M M H

trong đó H là hình chiếu của M

lên

.

Do đó,

0 0

min ( ; ).

z z d M

  

Và để

M M

nhỏ nhất với

M 

thì

M H

hay M là

hình chiếu của M

lên



Lời giải

- Từ hệ thức

1 2

z z z z  

, suy ra phương trình đường thẳng

.

+ Với câu a), ta tính khoảng cách

( ; ).

d M



Và kết luận,

0 0

min ( ; ).

z z d M

  

+ Với câu b),

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M

, vuông góc với



(hoặc song song với

).AB

- Giải hệ gồm hai phương trình:



và d suy ra nghiệm

( ; ).x y

Kết luận, số phức cần tìm

là

.z x yi 

Đặc biệt:

min

tức là tìm số phức

sao cho mô đun của

là nhỏ nhất.

Ví dụ 1.1. Trong tất cả các số phức

thỏa mãn

1 2 3 4 .z i z i    

Tìm giá trị nhỏ

nhất của mô đun của

5 13

2 13

(

)

(

)

Chia sẻ bởi:

Trịnh Thị Thanh

Tải về

Liên kết tải về

Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích 396,8 KB Tải về

Tìm thêm: Toán 12

Có thể bạn quan tâm

Xem thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!