Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10

Tải về Bình luận

Nhằm đem đến cho các bạn học sinh có thêm nhiều tài liệu học tập môn Toán chuyên đề Bất đẳng thức, Eballsviet.com giới thiệu tài liệu Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức.

Đây là tài liệu hữu ích, gồm 13 bài toán bất đẳng thức được xử lý bằng phương pháp dồn biến. Tài liệu có đáp án chi tiết kèm theo. Hy vọng với tài liệu này các bạn có thêm nhiều tài liệu tham khảo củng cố kiến thức đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia sắp tới.

Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức

I. Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):

 Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:

a b ab a b

ab a b

2 , , 0



   





















. Đẳng thức xảy ra khi

ab

 Bất đẳng thức Cauchy cho ba số:

a b c a bc a b c

a b c

abc a b c

3 , , , 0

, , , 0



    









  











. Đẳng thức xảy ra khi

a b c

 Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho

số không âm:

n n n

a a a n a a a a a a

a a a

a a a a a a

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

... ... , , ,... 0

...

... , , ,... 0



     







  

  











. Đẳng thức xảy ra khi

a a ... a

  

II. Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):



a b ab, a,b

2   

. Đẳng thức xảy ra khi

ab



a b ab, a,b

2    

. Đẳng thức xảy ra khi

ab













, a,b

. Đẳng thức xảy ra khi

ab



a b c abc, a,b,c

3 3 3

30    

. Đẳng thức xảy ra khi

a b c



a b c

abc











, a,b,c 0

. Đẳng thức xảy ra khi

a b c



   

 

ab bc ca a b c a b c a b c

2 2 2

3 3 , , ,         

. Đẳng thức xảy ra khi

a b c



 

a b ab a b a b

, , 0    

. Đẳng thức xảy ra khi

ab



a b a b

, , 0    

. Đẳng thức xảy ra khi

ab

IV. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa về biến cần tìm:

Bài 1: Cho các số thực

,xy

thỏa mãn

xy0

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

P x y x y

23   

Bài 2: Cho các số thực

,xy

dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

P x y

xy x y

  



Bài 3: Cho các số thực dương

xy,

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

x y x y

3 3 3 3





24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI

Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải

BÀI 6: AM – GM Dồn biến

Bài 4: Cho

,,a b c

thỏa mãn

c a c b c0, ,  

. Tìm giá trị lớn nhất của:

   

2    P c a c c b c a b

Bài 5: Cho các số thực

a b c, , 0

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2     

ab bc ca

P a b c

c a b

Bài 6: Cho

a b c,,

độ dài 3 cạnh một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   

 

2 2 2

1  

     

P a b c abc

a b c b c a c a b

Bài 7: Cho các số thực dương

xyz,,

thỏa mãn

xyz 1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4

3     P x y y z z x xy yz zx

Bài 8: Cho các số thực

a b c,,

dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 2

  

     

  

a bc b ca c ab

P a b c

b c c a a b

Bài 9: Cho các số thực dương

a b c,,

thỏa mãn

3  a b c

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

2 2 2

1 1 1

     

  

a b c

P a b c

b c a

Bài 10: Cho các số thực dương

a b c,,

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

3 3 3

2 2 2 2 2 2

     

  

abc

P a b c

a b b c c a

Bài 11: Cho các số thực dương

a b c,,

thỏa mãn điều kiện

1abc

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

2 2 2

1 1 1



  

   

  

a b c

b c a

Bài 12: Cho các số thực dương

a b c,,

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

3 3 3

3 3 3 3

     

  

a b c

b ab c bc a ca

Bài 13: Cho các số thực dương

a b c,,

thỏa mãn

abc 1

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

1 1 1

1 1 1 6



  

   

  

a b c

b c a

ĐÁP ÁN

Bài 1: Cho các số thực

,xy

thỏa mãn

xy0

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

P x y x y

23   

Phân tích

 Biến cần đưa về:

xy

 Chiều đánh giá cần có:

P 

 Chiều cần đánh giá cần tìm:

 

x y f x y

  

 Biến đổi biểu thức:

   

x y x y xy x y

3    

, do đó nếu muốn sử dụng đánh giá

x y x y



  

, ta sẽ cần

xy x y



 

 Đánh giá cần tìm:

 





Bài giải

Ta có:

   

x y x y xy x y

3    

. Ta có đánh giá:

 





. Do đó:

     

 

x y x y

x y x y xy x y x y x y

3 3 3 3



          

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

xy

. Vậy:

 

P x y x y x y

2 3 3



      

Xét hàm số

 

f t t t t

3 , 0

  

. Ta có:

 

P f x y

. Vì:

 

f t t t t

' 0 1 1

      

Do đó ta có bảng biến thiên:

0 1



 





Từ bảng biến thiên, ta thấy

 



 

t, 0; 

. Vậy

 

P f x y

   

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi



Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của

là



tại



Bài 2: Cho các số thực

,xy

dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

P x y

xy x y

  



Phân tích

 Biến cần đưa về:

xy

 Chiều đánh giá cần có:

P 

 Chiều cần đánh giá cần tìm:

 

xy x y f x y

  

Chia sẻ bởi:

Trịnh Thị Thanh

Tải về

Liên kết tải về

Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức 487 KB Tải về

Tìm thêm: Toán 10 Toán 12

Tài liệu tham khảo khác

Bất đẳng thức Cosi

Có thể bạn quan tâm

Xem thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!