Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10
Nhằm đem đến cho các bạn học sinh có thêm nhiều tài liệu học tập môn Toán chuyên đề Bất đẳng thức, Eballsviet.com giới thiệu tài liệu Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức.
Đây là tài liệu hữu ích, gồm 13 bài toán bất đẳng thức được xử lý bằng phương pháp dồn biến. Tài liệu có đáp án chi tiết kèm theo. Hy vọng với tài liệu này các bạn có thêm nhiều tài liệu tham khảo củng cố kiến thức đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia sắp tới.
Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức
I. Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:
a b ab a b
ab
ab a b
2
2 , , 0
,,
2
. Đẳng thức xảy ra khi
ab
.
Bất đẳng thức Cauchy cho ba số:
a b c a bc a b c
a b c
abc a b c
3
3
3 , , , 0
, , , 0
3
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c
Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho
n
số không âm:
n
n n n
n
n
nn
a a a n a a a a a a
a a a
a a a a a a
n
1 2 1 2 1 2
12
1 2 1 2
... ... , , ,... 0
...
... , , ,... 0
. Đẳng thức xảy ra khi
n
a a ... a
12
II. Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
a b ab, a,b
22
2
. Đẳng thức xảy ra khi
ab
.
a b ab, a,b
22
2
. Đẳng thức xảy ra khi
ab
.
ab
ab
2
2
, a,b
. Đẳng thức xảy ra khi
ab
.
a b c abc, a,b,c
3 3 3
30
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c
.
a b c
abc
3
3
, a,b,c 0
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c
.
ab bc ca a b c a b c a b c
2
2 2 2
3 3 , , ,
. Đẳng thức xảy ra khi
a b c
.
a b ab a b a b
33
, , 0
. Đẳng thức xảy ra khi
ab
.
ab
a b a b
ba
22
, , 0
. Đẳng thức xảy ra khi
ab
.
IV. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa về biến cần tìm:
Bài 1: Cho các số thực
,xy
thỏa mãn
xy0
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P x y x y
33
23
.
Bài 2: Cho các số thực
,xy
dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P x y
xy x y
22
1
8
8
.
Bài 3: Cho các số thực dương
xy,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
xy
x y x y
3 3 3 3
11
9
24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 6: AM – GM Dồn biến
Bài 4: Cho
,,a b c
thỏa mãn
c a c b c0, ,
. Tìm giá trị lớn nhất của:
22
2 P c a c c b c a b
Bài 5: Cho các số thực
a b c, , 0
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
ab bc ca
P a b c
c a b
Bài 6: Cho
a b c,,
độ dài 3 cạnh một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
1
1
P a b c abc
a b c b c a c a b
.
Bài 7: Cho các số thực dương
xyz,,
thỏa mãn
xyz 1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 4 4
3
3 P x y y z z x xy yz zx
Bài 8: Cho các số thực
a b c,,
dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2
4
4
a bc b ca c ab
P a b c
b c c a a b
Bài 9: Cho các số thực dương
a b c,,
thỏa mãn
3 a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
2 2 2
1 1 1
a b c
P a b c
b c a
.
Bài 10: Cho các số thực dương
a b c,,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
abc
P a b c
a b b c c a
Bài 11: Cho các số thực dương
a b c,,
thỏa mãn điều kiện
1abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
2 2 2
1 1 1
54
1 1 1
a b c
a b c
P
b c a
Bài 12: Cho các số thực dương
a b c,,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
3 3 3
3 3 3 3
2
a b c
P
a b c
b ab c bc a ca
Bài 13: Cho các số thực dương
a b c,,
thỏa mãn
abc 1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1 1 1
1 1 1 6
a b c
a b c
P
b c a
ĐÁP ÁN
Bài 1: Cho các số thực
,xy
thỏa mãn
xy0
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P x y x y
33
23
.
Phân tích
Biến cần đưa về:
xy
.
Chiều đánh giá cần có:
P
.
Chiều cần đánh giá cần tìm:
x y f x y
33
.
Biến đổi biểu thức:
x y x y xy x y
3
33
3
, do đó nếu muốn sử dụng đánh giá
x y x y
33
, ta sẽ cần
xy x y
.
Đánh giá cần tìm:
xy
xy
2
4
.
Bài giải
Ta có:
x y x y xy x y
3
33
3
. Ta có đánh giá:
xy
xy
2
4
. Do đó:
x y x y
x y x y xy x y x y x y
33
33
3 3 3 3
3
3
44
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
xy
. Vậy:
xy
P x y x y x y
3
33
2 3 3
2
.
Xét hàm số
f t t t t
3
1
3 , 0
2
. Ta có:
P f x y
. Vì:
t
f t t t t
t
2
2
33
' 0 1 1
2
2
.
Do đó ta có bảng biến thiên:
t
0 1
ft
0
5
2
Từ bảng biến thiên, ta thấy
ft
5
2
t, 0;
. Vậy
P f x y
5
2
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi
xy
1
2
.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của
P
là
5
2
tại
xy
1
2
.
Bài 2: Cho các số thực
,xy
dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P x y
xy x y
22
1
8
8
.
Phân tích
Biến cần đưa về:
xy
.
Chiều đánh giá cần có:
P
.
Chiều cần đánh giá cần tìm:
xy x y f x y
22
.
Chia sẻ bởi: 
Trịnh Thị Thanh
Trịnh Thị Thanh Liên kết tải về
Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức 487 KB Tải về
Có thể bạn quan tâm
-
Tập làm văn lớp 5: Tả cảnh mùa thu trên quê em
-
Viết bài văn kể lại sự việc có thật liên quan đến Trần Quốc Toản (Dàn ý + 6 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về sống có ích (Dàn ý + 12 Mẫu)
-
Đoạn trích Tức nước vỡ bờ - Trích chương XVIII, tác phẩm Tắt đèn
-
Văn mẫu lớp 12: Phân tích nhân vật Phùng trong Chiếc thuyền ngoài xa
-
Đoạn văn nghị luận về lời xin lỗi (Dàn ý + 16 Mẫu)
-
Văn mẫu lớp 12: Phân tích chi tiết tấm ảnh nghệ thuật trong bộ lịch cuối năm
-
Cảm nghĩ của em về Những ngôi sao xa xôi (Sơ đồ tư duy)
-
Văn mẫu lớp 9: Đoạn văn nghị luận về đức tính khiêm tốn
-
Văn mẫu lớp 12: Tổng hợp kết bài về tác phẩm Chiếc thuyền ngoài xa (74 mẫu)
Xác thực tài khoản!
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Sắp xếp theo
