Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Giải Toán 12 Kết nối tri thức trang 20 → 25

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 20, 21, 22, 23, 24, 25.

Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 Bài 3 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài 3 Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Eballsviet.com:

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 trang 25

Bài 1.16

Hình 1.26 là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\)

Sử dụng đồ thị này, hãy:

a) Viết kết quả của các giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right); \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right); \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right); \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\)

b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

a) Từ đồ thị ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^- } f\left( x \right) = -\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1^+ } f\left( x \right) = -\infty\)

b) Đồ thị hàm số có:

Tiệm cận ngang: y = 2

Tiệm cận đứng: x = - 1 và x = 1.

Bài 1.17

Đường thẳng x = 1 có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\) không?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{{(x-1)(x+3)}}{{x - 1}}\)

\(= \lim_{x\rightarrow 1^+} (x+3)=4\)

\(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{{(x-1)(x+3)}}{{x - 1}}\)

\(= \lim_{x\rightarrow 1^-} (x+3)=4\)

Vậy đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 1.18

Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\);

b) \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = f(x)= \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\)

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow + \infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} =-\frac{1}{2}\).

Tương tự \(\lim_{x\rightarrow - \infty} f(x) =-\frac{1}{2}\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-\frac{1}{2}\).

\(\lim_{x\rightarrow \left ( - \frac{1}{2}\right ) ^+ } f(x) =\lim_{x\rightarrow \left ( - \frac{1}{2}\right ) ^+} \frac{{3 - x}}{{2x + 1}} = + \infty\).

Tương tự \(\lim_{x\rightarrow \left ( - \frac{1}{2}\right ) ^- } f(x) = - \infty\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-\frac{1}{2}\).

b) Ta có:

* \(\lim_{x\rightarrow + \infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = + \infty\).

Tương tự \(\lim_{x\rightarrow - \infty} f(x) =-\infty\)

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

* \(\lim_{x\rightarrow \left ( - 2\right ) ^+ } f(x) =\lim_{x\rightarrow \left ( - 2\right ) ^+} \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = + \infty\)

Tương tự \(\lim_{x\rightarrow \left ( - 2\right ) ^- } f(x) = - \infty\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 2.

* \(f(x) = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} =(2x-3)+\frac{5}{x+2}\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} [f(x) - (2x - 3)] =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{5}{x+2} =0\).

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x - 3.

Bài 1.19

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là \(C\left( x \right) = 2x + 50\) (triệu đồng). Khi đó, \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\). Tính chất này nói lên điều gì?

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2x+50}}{x}\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=-\frac{50}{x^2}\) < 0 với mọi x khác 0. Do đó hàm số f(x) giảm.

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{{2x+50}}{{x }} = 2\)

Tính chất này cho biết chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm ít nhất là 2 triệu đồng (nhưng không bằng 2)

Bài 1.20

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144m². Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).

a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x).

Hướng dẫn giải:

Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\frac{144}{x}\) (m)

a) Biểu thức tính chu vi mảnh vườn là:

\(P\left(x\right)=2\left(x+\frac{144}{x}\right) =2x+\frac{288}{x}\)

b) Ta có:

* \(\lim_{x\rightarrow + \infty} P(x) =\lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( 2x+\frac{288}{x} \right ) = + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} P(x) = - \infty\)

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

* \(\lim_{x\rightarrow 0 ^+ } P(x) =\lim_{x\rightarrow 0^+} \left ( 2x+\frac{288}{x} \right ) = + \infty\)

Tương tự \(\lim_{x\rightarrow 0 ^+ } P(x) = - \infty\)

Vậy hàm số P(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0.

* \(\lim_{x\rightarrow + \infty} [P(x) - (2x)] =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{288}{x} =0\)

Vậy đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x.