Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Ôn tập Toán 9

Giới thiệu Tải về Bình luận

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.

Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập có đáp án kèm theo tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tìm nghiệm của phương trình, chứng minh phương trình có nghiệm trái dấu. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

I. Lý thuyết tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu

1. Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$ phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$ $\Leftrightarrow P < 0$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right.$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.$

II. Ví dụ tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu

Ví dụ: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.$

Với $\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m > 0$ $\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m \end{array}$

Với $P > 0 \Leftrightarrow m > 0$ $P > 0 \Leftrightarrow m > 0$

Với $S < 0 \Leftrightarrow 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 3}}{2}$ $S < 0 \Leftrightarrow 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 3}}{2}$ kết hợp với m > 0

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

III. Bài tập tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu (Có đáp án)

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0$ ${x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$ $\Leftrightarrow P < 0$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$ $\Leftrightarrow P < 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}$

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4$ $\left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4$

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.$(vô lý)

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình $3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$ $3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Gợi ý đáp án

$3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$ $3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta$ $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

Có $\Delta$ $\Delta ' = 4{m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right)$

$\begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered}$ $\begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

$P > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right) > 0$ $P > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right) > 0$

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{gathered} m + 1 > 0 \hfill \\ m - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m > 3$ $\left\{ \begin{gathered} m + 1 > 0 \hfill \\ m - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m > 3$

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{gathered} m + 1 < 0 \hfill \\ m - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < - 1$ $\left\{ \begin{gathered} m + 1 < 0 \hfill \\ m - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < - 1$

Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Gợi ý đáp án

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$

Với $\Delta$ $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {2m - 4} \right) > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m \end{array}$

Với $P > 0 \Leftrightarrow 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2$ $P > 0 \Leftrightarrow 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2$

Với $S > 0 \Leftrightarrow 2 > 0$ $S > 0 \Leftrightarrow 2 > 0$ (luôn đúng)

Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Bài 4: Không giải phương trình, chứng minh các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu

a) x² - 3x - 4 = 0

b) -2x² + x +8 = 0

c) x² - 8 = 0

Gợi ý đáp án

Vì a . c = 1 . (-4) = -4 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) -2x² + x +8 = 0 ( a = -2 ; b = 1 ; c = 8)

Vì a . c = (-2) . 8 = -16 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) x² - 8 = 0 ( a = 1 ; b = 0 ; c = -8)

Vì a . c = 1 . (-8) = -8 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Bài 5: Chứng minh các phương trình sau luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m:

a) -x² - 2x + m² + 1 = 0 ( m là tham số)

b) (m²+ 1)x²+ 2mx - m²= 0 ( m là tham số)

c) 2x² - (m + 1)x - ( m² + 4m + 5) = 0 ( m là tham số)

Gợi ý đáp án

a) -x² - 2x + m² + 1 = 0 ( a = -1; b = -2; c = m² + 1 )

Ta có: a . c = (-1) . (m²+ 1) = -(m²+ 1)

Vì m² 0 với mọi m, nên m² + 1 > 0 với mọi m

- ( m² + 1 ) < 0 với mọi m

a . c < 0 với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

b) (m²+ 1)x²+ 2mx - m²= 0 ( a = m²+ 1; b = 2m ; c = -m²)

Ta có: a . c = (m²+ 1) . (-m²) = -m²(m² + 1)

Vì m² 0 với mọi m, nên m² + 1 > 0 với mọi m

m² (m² +1) > 0 với mọi m

-m² (m² +1) < 0 với mọi m

a . c < 0 với mọi m.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

c) 2x² - (m + 1)x - ( m² + 4m + 5) = 0 ( a = 2; b = -(m + 1); c = -(m² + 4m + 5))

Ta có: a . c = 2. [ -(m² + 4m + 5)] = -2 ( m² + 4m + 5) = -2 ( m² + 4m + 4 +1) = -2 [ ( m + 2 )² + 1]

Vì ( m + 2 )² 0 với mọi m

( m + 2 )² + 1 >0 với mọi m

-2 [ ( m + 2 )² + 1] < 0 với mọi m

Do đó: a . c < 0 với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

IV. Bài tập tự luyện tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0$ ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.	b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.	d) Cùng dấu dương.

Bài 2: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx - 6m - 9 = 0$ ${x^2} - 2mx - 6m - 9 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 13$

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.	b) Cùng dấu.
c) Cùng dấu âm.	d) Cùng dấu dương.

Bài 4: Tìm m để phương trình ${x^2} - 8x + m + 5 = 0$ ${x^2} - 8x + m + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

Bài 5: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 5m - 4 = 0$ ${x^2} - 2mx + 5m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

Bài 6: Tìm m để phương trình $2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0$ $2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 7: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 8: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0$ ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 9: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0$ ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 10: Cho phương trình ${x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m = 0$ ${x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

Chia sẻ bởi: