Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10
Nhằm đem đến cho quý thầy cô giáo có thêm nhiều tài liệu học tập môn Toán lớp 10, Eballsviet.com giới thiệu tài liệu Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng.
Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng là tài liệu hữu ích, gồm 12 trang, tuyển chọn các phương pháp và bài tập giải hệ phương trình đối xứng có đáp án kèm theo. Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em học sinh lớp 10 vượt qua một chẳng nhỏ trong chặng đường chinh phục toán học. Mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.
Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng lớp 10
Diễn đàn Toán học VMF
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phạm Hùng Vương Học sinh lớp 12C1 trường THPT Phan Đăng Lưu, Nghệ An
I. Lời nói đầu.
Chuyên đề là kết quả thu được qua một thời gian học tập và nghiên cứu của bản thân về
hệ phương trình. Tuy nhiên có thể nói rằng, đó là sự kết tinh qua nhiều thế hệ, là sự giúp đỡ,
là sự học hỏi từ những người bạn của mình cũng như rất nhiều yếu tố khác.
Để đạt hiệu quả cao khi tham khảo chuyên đề này, xin được trích dẫn mấy lời của nhà giáo
G.Polya: " [...] Một số bài toán có nêu lời giải đầy đủ (tuy vắn tắt), đối với một số bài khác, chỉ
vạch ra mấy bước giải đầu tiên, và đôi khi chỉ đưa ra kết quả cuối cùng.
Một số bài toán có kèm thêm chỉ dẫn để giúp người đọc giải được dễ dàng hơn. Chỉ dẫn
cũng có thể nằm trong những bài toán khác ở gần bài toán đang xét. Nên đặc biệt lưu ý đến
những nhận xét mở đầu trước từng bài tập hay cả một nhóm bài tập gặp thấy trong chương.
Nếu chịu khó, gắng sức giải một bài toán nào đó thì dù không giải nổi đi chăng nữa, bạn
đọc cũng thu hoạch được nhiều điều bổ ích. Chẳng hạn, bạn đọc có thể giở ra xem (ở cuốn
sách) phần đầu mỗi lời giải, đem đối chiếu với những suy nghĩ của bản thân mình, rồi gấp
sách lại và thử gắng tự lực tìm ra phần còn lại của lời giải.
Có lẽ thời gian tốt nhất để suy nghĩ, nghiền ngẫm về phương pháp giải bài toán là lúc bạn
vừa tự lực giải xong bài toán hay vừa đọc xong lời giải bài toán trong sách, hay đọc xong phần
trình bày phương pháp giải trong sách. Khi vừa hoàn thành xong nhiệm vụ, và các ấn tượng
hãy còn "nóng hổi", nhìn lại những nổ lực vừa qua của mình, bạn đọc có thể phân tích sâu
sắc tính chất của những khó khăn đã vượt qua. Bạn đọc đọc có thể tự đặt cho mình nhiều
câu hỏi bổ ích: "Khâu nào trong quá trình giải là quan trọng nhất? Khó khăn chủ yếu là ở chỗ
nào? Ta có thể làm gì cho tốt hơn? Chi tiết ấy mình cũng đã liếc qua mà không chú ý đến -
muốn "nhìn thấy" chi tiết này thì đầu óc phải có tư chất ra sao? Liệu ở đây có một cách gì đó
đáng lưu ý để sau này gặp một tình huống tương tự, ta có thể áp dụng được không?" Tất cả
những câu hỏi đó đều hay cả, và cũng còn nhiều câu hỏi bổ ích khác nữa, nhưng câu hỏi hay
nhất chính là câu hỏi tự nhiên nảy ra trong óc, không cần ai gợi ý cả!"
(trích "Mấy lời khuyên và chỉ dẫn" -G.Polya trong "Sáng tạo toán học")
Do thời gian cũng như 1 số vấn đề khác như kiến thức, trình bày,.. mà chuyên đề này còn
khá nhiều khiếm khuyết. Rất mong được các bạn quan tâm và chia sẻ đề hoàn thiện chuyên
đề hơn. Hi vọng nó sẽ là tài liệu bổ ích giúp chúng ta vượt qua 1 chẳng nhỏ trong chặng đường
chinh phục toán học.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CŨ.
1. Hệ phương trình đối xứng kiểu I.
Nhận dạng:
Hệ đối xứng kiểu I: gồm 2 phương trình ẩn x,y mà vai trò x,y trong mỗi phương trình là như
nhau. Ví dụ:
½
a(x + y) +bx y =c
x
2
+y
2
=c
. Và phương pháp giải là đặt ẩn phụ:
½
S = x + y
P = x y
. Giải tìm S,P
sau đó sử dụng định lí Vi-et, dễ thấy x, y là nghiệm của phương trình: X
2
−S.X +P =0
Cùng xem xét 1 vài ví dụ (cách giải và một số hướng giải quyết mới)
1
Diễn đàn Toán học VMF
Ví dụ 1— (Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Bến Tre năm 2009-2010)
Giải hệ phương trình:
½
x
2
+y
2
−2x −2y = 6
x + y −xy = 5
Lời giải: Đặt S = x +y, P = x y, ta thu được hệ mới tương đương:
½
S
2
−2P −2S =6
S −P =5
⇔
½
S
2
−4S +4 =0
P = S −2
⇔
½
S =2
P = −3
Như vậy, theo định lí Vi-ét, x, y là nghiệm của phương trình:
X
2
−2X −3 =0 ⇔(X −3)(X +1) =0 ⇒
·
x = 3, y = −1
x = −1, y = 3
Vậy hệ có 2 nghiệm (x; y) thỏa mãn là: (−1; 3) và (3; −1).
Những bài như thế này và bài giải như vậy đã trở nên quen thuộc, không còn mới lạ. Tuy
nhiện, cũng có 1 số bài hệ, dù biết là đối xứng kiểu I, nhưng lại phải làm gì để sử dụng được?
Hãy xem ví dụ:
Ví dụ 2— (ĐH-CĐ Khối A năm 2006)
Giải hệ phương trình:
½
x + y −
p
x y =3
p
x +1 +
p
y +1 =4
Lời giải:
Ý tưởng 1: Bình phương hai vế của pt dưới hệ thành
½
x + y −
p
x y =3
x + y +2 +
p
x y +x +y +1 =16
Thử đặt như cũ: S = x + y, P = x y, hệ khi đó trở thành:
½
S −
p
P = 3
S +2
p
P +S +1 =14
⇔
(
S =
p
P +3
2
p
P +
p
P +4 =11 −
p
P
⇔
S =
p
P +3
3P −26
p
P −105 =0
0 ≤P ≤ 121
Đến đây, giải tìm P , sau đó quay lại giải tìm ra nghiệm x, y. ( chú ý điều kiện)
Hơn nữa, luôn nhớ: S
2
≥4P để loại bớt nghiệm.
Ý tưởng 2: Đặt ẩn a =
p
x +1, b =
p
y +1 nhằm làm đơn giản 1 phương trình của hệ. (kĩ thuật
đặt ẩn làm gọn này rát có ý nghĩa, đặc biệt trong bất đẳng thức (BĐT) có giả thiết rườm rà,
với phương trình hay hệ cũng vậy). Khi đó:
HPT ⇔
½
a +b =4
a
2
+b
2
−2 −
p
(a
2
−1)(b
2
−1) =3
⇔
½
S =4
S
2
−2P −2 −
p
P
2
−S
2
+2P +1 =3
⇔
½
S =4
p
P
2
+2P −15 =11 −2P
Trong đó S = a +b, P = ab. Đến đây, ta cũng có thể giải tương tự.
2
Diễn đàn Toán học VMF
Ví dụ 3— (Thi thử ĐH-CĐ, THPT chuyên Nguyễn Huệ 2011)
Giải hệ phương trình:
½
p
x +1 +
p
y −1 =4
p
x +6 +
p
y +4 =6
Ví dụ 4— (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nghệ An năm 2009-2010)
Giải hệ phương trình:
1
x
+
1
y
+
1
z
=2
2
x y
−
1
z
2
=4
Ví dụ 5— Giải hệ phương trình:
½
(x + y)(1 +x y) = 4x y
(x
2
+y
2
)(1 +x
2
y
2
) =4x
2
y
2
Thực ra, dạng hệ đối xứng kiểu I có hướng giải khá đơn giản, rõ ràng với việc đặt ẩn và sử
dụng định lí Vi-ét. Chính vì vậy mà hệ đối xứng kiểu I thường gắn với việc giải và biện luận,
một sở trường của phương pháp này! Chúng ta cùng xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 6— (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Hà Nội năm 2009-2010)
Tìm a để hệ phương trình
½
ay +x +y = a +1
x
2
y +x y
2
= a
có nghiệm duy nhất.
Lời giải: Đặt : S = x +y, P = x y, ta có hệ mới:
½
S +P = a +1
SP = a
Theo Vi-ét, S và P là nghiệm của phương trình: X
2
−(a +1)X +a = 0 (1)
Hơn nữa, cũng theo Vi-ét x, y lại là nghiệm của phương trình: X
2
−S.X +P =0 (2).
Do đó, để hệ có 1 nghiệm duy nhất thì (2) có nghiệm duy nhất, tức ∆
(2)
= 0 ⇔ S
2
= 4P ⇔ x = y
Hoặc có thể dùng nhận xét: do vai trò x, y trong mỗi phương trình của hệ là như nhau nên
nếu hệ có nghiệm (m;n) thì nó cũng có nghiệm (n;m). Như vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì
cần có x = y. Thế vào được:
½
x
2
+2x = a +1
2x
3
= a
⇔
(
x
2
+2x −(a +1) =0 (∗)
x =
3
q
a
2
Để hệ có nghiệm duy nhất thì (∗) có duy nhất 1 nghiệm x =
−2
2.1
=−1 ⇒
3
r
a
2
=−1 ⇔ a = −2.
Thử lại thấy thỏa mãn. Kết luân giá trị cần tìm là a =−2.
Ví dụ 7— (Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Hưng Yên năm 2009-2010)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
½
p
x +
p
y =m
x + y −
p
x y =m
Ví dụ 8— (Thi thử ĐH-CĐ THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên 2011)
Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm:
½
p
x +1 +
p
y +1 = a
x + y = 2a +1
3
Chia sẻ bởi: 
Trịnh Thị Thanh
Trịnh Thị Thanh Liên kết tải về
Link Download chính thức:
Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng Download
Có thể bạn quan tâm
-
Mẫu 09/ĐK: Đơn đăng ký biến động đất đai
-
Tranh tô màu Pikachu - Bộ tranh tô màu Pikachu đẹp
-
Giáo án Toán lớp 1 (Sách mới) - Giáo án Toán lớp 1 (trọn bộ 5 sách)
-
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 3
-
Thuyết minh về Thành Cổ Loa (2 Dàn ý + 5 mẫu)
-
Bộ tranh tô màu chủ đề gia đình cho bé
-
Văn mẫu lớp 10: Phân tích tác phẩm Hiền tài là nguyên khí của quốc gia (2 Dàn ý + 10 Mẫu)
-
Những vần thơ hay - Tuyển tập những bài thơ hay
-
Văn mẫu lớp 9: Nghị luận về hiện tượng học tủ, học vẹt
-
File luyện viết chữ in hoa - Mẫu chữ hoa cho học sinh Tiểu học
Sắp xếp theo
