Bài toán cực trị số phức Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học
Bài toán cực trị số phức là một trong những bài toán khá thú vị trong chương trình Toán lớp 12 và cũng là một trong những dạng toán khó dành cho học sinh.
Hiểu rõ được điều đó, Eballsviet.com xin giới thiệu đến các bạn Bài toán cực trị số phức để các bạn dễ dàng hình dung và nắm bắt được kiến thức trọng tâm. Sau đây là nội dung chi tiết, mời bạn đọc cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.
Bài toán cực trị số phức
1
CỰC TRỊ SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1 − i| + |z + 1 + 3i| = 6
√
5. Giá trị lớn nhất của
|z −2 −3i| là
A 5
√
5. B 2
√
5. C 6
√
5. D 4
√
5.
Hướng dẫn giải
Ta có |z −1 − i| + |z + 1 + 3i| = 6
√
5 ⇔ MA + MB = 6
√
5 với M(x; y)
biểu diễn số phức z = x + yi, A(1; 1) biểu diễn số phức 1 + i, B(−1; −3)
biểu diễn số phức −1 −3i.
Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6
√
5 và A, B là
hai tiêu điểm.
A
B
C
I
M
0
M
• |z −2 −3i| = MC với C(2; 3) biểu diễn số phức 2 + 3i.
•
# »
AB = (−2; −4) ⇒ AB = 2
√
5.
•
# »
A C = (1; 2) ⇒ AC =
√
5.
• Vì
# »
AB = −2
# »
A C nên
# »
AB,
# »
A C ngược hướng và AB = 2AC.
Gọi M
0
là điểm nằm trên elip sao cho A, B, M
0
thẳng hàng và M
0
khác phía A so với B.
Ta có BM
0
=
6
√
5 − AB
2
= 2
√
5.
Ta thấy MC ≤ M
0
C với mọi điểm M nằm trên elip.
Do đó MC lớn nhất khi và chỉ khi M ≡ M
0
.
Khi đó MC = M
0
C = CA + AB + BM
0
=
√
5 + 2
√
5 + 2
√
5 = 5
√
5.
Chọn đáp án A
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn |z + 1| + |z − 3 − 4i| = 10. Giá trị nhỏ nhất P
min
của biểu thức
P = |z − 1 + 2i| bằng
A P
min
=
√
17. B P
min
=
√
34. C P
min
= 2
√
10. D P
min
=
√
34
2
.
Hướng dẫn giải
Đặt z = x + yi, điểm biểu diễn của z là M(x; y).
Khi đó |z + 1| + |z −3 −4i| = 10 ⇔ MA + MB = 10 với A(−1; 0) và B(3; 4).
Suy ra M thuộc elip có độ dài trục lớn là 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5 và hai tiêu điểm là A, B.
Mà
# »
AB = (4; 4) ⇒ AB = 4
√
2 ⇒ 2c = 4
√
2 ⇒ c = 2
√
2.
Ta có
P = |z −1 + 2i|
=
q
(x −1)
2
+ (y −2)
2
= MH
2
Với H(1; 2). Dễ thấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB.
Do đó P
min
⇔ MH ngắn nhất khi và chỉ khi M thuộc trục nhỏ của elip.
Khi đó độ dài MH bằng một nửa trục nhỏ hay MH = b =
√
a
2
−c
2
=
√
17.
Chọn đáp án A
Câu 3. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z − 5 + 3i| = 3, |iw + 4 + 2i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức T = |3iz + 2w|.
A
√
554 + 5. B
√
578 + 13. C
√
578 + 5. D
√
554 + 13.
Hướng dẫn giải
O
IA B
9
4
Ta có |z −5 + 3i| = 3 ⇔
3iz −15i −9
3i
= 3 ⇔ |3iz −9 −15i| = 9.
|iw + 4 + 2i| = 2 ⇔
−i
2
(−2w −4 + 8i)
= 2 ⇔ |−2w −4 + 8i| = 4.
Gọi A và B là điểm biểu diễn của 3iz và −2w, khi đó A và B lần lượt thuộc các đường tròn tâm
O(9; 15) bán kính bằng 9 và đường tròn I(4; −8) bán kính bằng 4. Ta tính được OI =
√
554.
Khi đó T = |3iz + 2w| = |3iz − (−2w)| = AB.
Do IO =
√
554 > 4 + 9 nên hai đường tròn ngoài nhau, suy ra AB
max
= AO + OI + IB =
√
554 + 13.
Chọn đáp án D
Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn
|
iz −2i −2
|
−
|
z + 1 −3i
|
=
√
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
|
(1 + i)z + 2i
|
.
A P
min
=
9
√
17
. B P
min
= 3
√
2. C P
min
= 4
√
2. D P
min
=
√
26.
Hướng dẫn giải
Giả sử số phức z có dạng z = a + bi, z có biểu diễn hình học là điểm M(a; b). Khi đó
|
iz −2i −2
|
−
|
z + 1 −3i
|
=
√
34 ⇔
q
(b + 2)
2
+ (a −2)
2
−
q
(a + 1)
2
+ (b −3)
2
=
√
34. (1)
Gọi điểm A(2; −2), B(−1; 3) khi đó ta có AB =
√
34. Kết hợp với (1) ta suy ra MA − MB = AB. ⇒
Điểm M trùng với điểm B hoặc B là trung điểm của MA. Ta xét hai trường hợp sau:
• TH1: M trùng B ⇒ M (−1; 3). Suy ra
P =
q
(a − b)
2
+ (a + b + 2)
2
=
√
32 = 4
√
2.
• TH2: B là trung điểm của MA ⇒ M(−4; 8). Suy ra
P =
q
(a − b)
2
+ (a + b + 2)
2
=
√
180 = 6
√
5.
3
Suy ra, min P = 4
√
2.
Chọn đáp án C
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn
z −2i
z + 3 −i
= 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 3 −2i| bằng
A
2
√
10
5
. B 2
√
10. C
√
10. D
√
10
5
.
Hướng dẫn giải
Gọi z = x + yi với x, y ∈ R.
z −2i
z + 3 −i
= 1 ⇔ |z −2i| = |z + 3 − i| ⇔
|
x + (y −2)i
|
=
|
(x + 3) + (y − 1)i
|
⇔ 3x + y + 3 = 0.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 3x + y + 3 = 0.
Ta có |z + 3 −2i| = |z − (−3 + 2i)|, với M
0
(−3; 2).
|z + 3 −2i| đạt giá trị nhỏ nhất bằng d(M
0
, d) =
|−9 + 2 + 3|
√
9 + 1
=
4
√
10
=
2
√
10
5
.
Chọn đáp án A
Câu 6. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z| =
√
5, w = (4 − 3i)z + 1 − 2i. Giá trị nhỏ nhất của |w|
là
A 3
√
5. B 4
√
5. C 5
√
5. D 6
√
5.
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có w = (4 − 3i)z + 1 − 2i ⇒ z =
w −1 + 2i
4 −3i
.
Nên |z| =
√
5 ⇔
w −1 + 2i
4 −3i
=
√
5 ⇔
|
w −1 + 2i
|
= 5
√
5.
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn I(1; −2) và bán kính R = 5
√
5.
Ta có OI =
p
1
2
+ (−2)
2
=
√
5 < R.
Do đó min |w| = R −OI = 5
√
5 −
√
5 = 4
√
5.
Chọn đáp án B
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn |z −3 + 4i| = 2. Mô-đun lớn nhất của z bằng
A 7. B 8. C 5. D 3.
Hướng dẫn giải
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa |z −3 + 4i| = 2 là đường tròn có tâm I(3; −4) và bán
kính bằng R = 2. Suy ra max |z| = IO + R = 7.
Chọn đáp án A
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 − 3i| + |z − 5 + 2i| =
√
34. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z + 1 + 2i|. Khi đó tổng M + m bằng
A
30
√
34
+
√
34. B
30
√
34
+ 5. C
√
34 + 6. D
30
√
34
+ 6.
Hướng dẫn giải
Chia sẻ bởi: 
Trịnh Thị Thanh
Trịnh Thị Thanh Liên kết tải về
Link Download chính thức:
Bài toán cực trị số phức 473,1 KB 22/03/2019 Download
Có thể bạn quan tâm
-
Tập làm văn lớp 5: Tả cảnh buổi sáng trên cánh đồng
-
Tổng hợp dàn ý bài Câu cá mùa thu (9 Mẫu)
-
Soạn bài Tục ngữ về thiên nhiên, lao động và con người, xã hội (2) - Cánh diều 7
-
Cảm nhận về bài thơ Câu cá mùa thu của Nguyễn Khuyến
-
Mẫu vở tập tô chữ cho bé - Tập tô chữ cái cho bé chuẩn bị vào lớp 1
-
Phân tích bài thơ Câu cá mùa thu của Nguyễn Khuyến (3 Dàn ý + 19 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 9: Nghị luận về vai trò của lao động đối với con người
-
Văn mẫu lớp 10: Dàn ý phân tích bài thơ Nắng mới (5 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 10: Cảm nhận bài thơ Nắng mới (Dàn ý + 6 Mẫu)
-
Dẫn chứng Thất bại là mẹ thành công
Sắp xếp theo
