Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải Toán 12 Cánh diều trang 15 → 20

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Cánh diều tập 1 trang 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Giải bài tập Toán 12 Cánh diều tập 1 Bài 2 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài 2 Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Eballsviet.com:

Giải Toán 12 Cánh diều Tập 1 trang 19, 20

Bài 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f'(x) = sinx – 2 023, ∀x ∈ ℝ thì giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1; 2] bằng:

Đáp án đúng: B

Bài 2

Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f(x) = \frac{4}{1+x^{2} }\)

b) \(f(x) = x - \frac{3}{x}\) trên nửa khoảng (0; 3].

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số \(f(x) = \frac{4}{1+x^{2} }\). TXĐ: D = ℝ

Ta có: \(f'\left(x\right)=-\frac{8x}{1+x^2}\). Khi đó với mọi x ∈ ℝ, f'(x) = 0 khi x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy trên khoảng \((-\infty ;+\infty )\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại x = 0.

b) Xét hàm số \(f(x) = x - \frac{3}{x}\) trên nửa khoảng (0; 3].

Ta có: \(f'\left(x\right)=1+\frac{3}{x^2} >0\) với mọi x ∈ (0; 3]. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3].

Vậy \(\underset{(0;3]}{\max}= f(3) = 2\)

Bài 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left(x\right)=x+\frac{4}{x}\) trên khoảng (0; +∞);

b) f(x) = x³ – 12x + 1 trên khoảng (1; +∞).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(f'\left(x\right)=1-\frac{4}{x^2}\). Khi đó, trên khoảng (0; +∞), f'(x) = 0 khi x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Vậy \(\underset{(0;+\infty)}{\min} f(x) = f(2)=4\)

b) Xét hàm số f(x) = x³ – 12x + 1 trên khoảng (1; +∞).

Ta có: f'(x) = 3x² - 12. Khi đó, trên khoảng (1; +∞), f'(x) = 0 khi x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Vậy \(\underset{(0;+\infty)}{\min} f(x) = f(2)=4\)

Bài 4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left(x\right)=x^3-\frac{3}{2}x^2\) trên đoạn [– 1; 2];

b) f(x) = x⁴ – 2x³ + x² + 1 trên đoạn [– 1; 1];

c) f(x) = e^x(x² – 5x + 7) trên đoạn [0; 3];

d) f(x) = cos2x + 2x + 1 trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f\left(x\right)=x^3-\frac{3}{2}x^2\) trên đoạn [– 1; 2]

Ta có: f'(x) = 3x² - 3x. Khi đó trên khoảng (- 1; 2), f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

\(f\left(-1\right)=-\frac{5}{2};\ f\left(0\right)=0;\)\(\ f\left(1\right)=-\frac{1}{2};\ f\left(2\right)=2\)

Vậy \(\underset{[-1;2]}{\max} f(x) =2\) tại x = 2

\(\underset{[-1;2]}{\min} f(x) =-\frac52\) tại x = - 1

b) f(x) = x⁴ – 2x³ + x² + 1 trên đoạn [– 1; 1]

Ta có: f'(x) = 4x³ - 6x² + 2x. Khi đó trên khoảng (- 1; 1), f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc \(x=\frac{1}{2}\) hoặc x = 1.

f(- 1) = 5; f(0) = 1; \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{17}{16}\); f(1) = 1

Vậy \(\underset{[-1;1]}{\max} f(x) =5\) tại x = - 1

\(\underset{[-1;1]}{\min} f(x) =1\) tại x = 0 và x = 1.

c) f(x) = e^x(x² – 5x + 7) trên đoạn [0; 3]

Ta có: f'(x) = e^x (x² - 3x + 2). Khi đó trên khoảng (0; 3), f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2.

f(0) = 7; f(1) = 3e; f(2) = e²; f(3) = e³.

Vậy \(\underset{[0;3]}{\max} f(x) = e^3\) tại x = 3

\(\underset{[0;3]}{\min} f(x) = 7\) tại x = 0

d) f(x) = cos2x + 2x + 1 trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]\)

Ta có: f'(x) = - 2sin2x + 2. Khi đó trên khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)\), f'(x) = 0 ⇔ \(x=\frac{\pi}{4}\)

\(f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2\pi;\ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}+1;\)\(\ f\left(\pi\right)=2+2\pi\)

Vậy \(\underset{\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right] }{\max} f(x) = 2+2\pi\) tại x = π

\(\underset{\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right] }{\min} f(x) = -2\pi\) tại \(x=-\frac{\pi}{2}\)

Bài 5

Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình

s(t) = – t³ + 6t² + t + 5,

trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Hướng dẫn giải:

Xét hàm vận tốc: v(t) = s'(t) = - 3t² + 12t + 1

Ta có: v'(t) = - 6t + 12. Trên khoảng (0; 5), v'(t) = 0 khi t = 2.

v(0) = 1; v(2) = 13; v(5) = - 14

Vậy chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất trong 5 giây đầu tiên là 13 m/s.

Bài 6

Người ta bơm xăng vào bình của một xe ô tô. Biết rằng thể tích V (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng t (phút) được cho bởi công thức

V(t) = 300(t² – t³) + 4 với 0 ≤ t ≤ 0,5.

(Nguồn: R.I Charles et al., Algebra 2, Pearson)

a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?

b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?

c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi V'(t) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm t với 0 ≤ t ≤ 0,5. Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

Bài 7

Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức

V = k(R – r)r² với 0 ≤ r < R,

trong đó k là hằng số, R là bán kính bình thường của khí quản, r là bán kính khí quản khi ho (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?