Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi học kì môn Toán lớp 8.

Phương pháp tách hạng tử trong phân tích đa thức tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách phân tích đa thức kèm theo một số ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu Cách tính giá trị biểu thức lớp 8, bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.

I. Phương pháp tách hạng tử

- Ta có thể tách một hạng tử nào đó thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

Chú ý: Quy tắc dấu ngoặc

- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "−" đứng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "−“ thành dấu "+" và dấu "+” thành dấu "−". Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đứng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

II. Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

a) Đối với đa thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c có nghiệm

Phương pháp chung

Bước 1: Tìm tích ac rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Bước 2: Chọn hai thừa số trong các tích trên có tổng bằng b

Bước 3: Tách bx = a_ix + c_ix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp

Ví dụ: Phân tích đa thức f(x) = 3x² + 8x + 4 thành nhân tử

Gợi ý đáp án

Phân tích ac:

ac = 12 = 3.4 = (-3).(-4) = 2.6 = (-2). (-6) = 1.12 = (-1).(-12)

Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích ac = 2.6

Tách 8x = 2x + 6x

=> 3x² + 8x + 4 = 3x² + 2x + 6x + 4 = (3x² + 2x) + (6x + 4)

= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x + 2)

b) Đối với đa thức hai biến dạng f(x; y) = ax² + bxy + cy²

Phương pháp chung

Phương pháp 1: Xem đa thức f(x; y) = ax² + bxy + cy² là đa thức một biến x

Khi đó hệ số lần lượt là a, by, xy² và ta áp dụng phương pháp như với đa thức bậc hai một biến.

Phương pháp 2: Viết đa thức về dạng \(f\left( {x;y} \right) = {y^2}\left[ {a{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + b{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2}} \right]\). Đặt \(t = \frac{x}{y}\) và phân tích đa thức at² + bt + c theo phương pháp như với đa thức bậc hai một biến.

Ví dụ: Phân tích đa thức 2x² – 5xy + 2y² thành nhân tử

Gợi ý đáp án

Cách 1: Xét đa thức f(x) = 2x² – 5xy + 2y²

Khi đó ta có a = 2; b = -5y; c = 2y²

Ta có ac = y.4y = (-y).(-4y) = 2y.2y = (-2y).(-2y) = ….

Ta chọn tích (-y).(-4y) vì (-y) + (-4y) = -5y = b

=> 2x² – 5xy + 2y² = 2x² – xy – 4xy + 2y² = x(2x – y) – 2y(2x – y) = (x – 2y)(2x – y)

Cách 2: Xét đa thức \(f\left( {x;y} \right) = {y^2}\left( {\frac{{2.{x^2}}}{{{y^2}}} - 5\frac{x}{y} + 2} \right)\)

Đặt \[t = \frac{x}{y}\] và ta có đa thức 2t² – 5t + 2 = 2t² – t – 4t + 2 = (2t – 1)(t – 2)

Khi đó ta được f(x; y) = y²(2t – 1)(t – 2) = \({y^2}.\left( {2\frac{x}{y} - 1} \right)\left( {\frac{x}{y} - 2} \right)\) = (2x – y)(x – 2y)

Chú ý: Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "−" đứng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "−“ thành dấu "+" và dấu "+” thành dấu "−". Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đứng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

III. Ví dụ minh họa phương pháp tách hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử:

a. \({x^2} - 7x + 6\)

b. \({x^2} - 3x - 10\)

c. \(2{x^2} + 5x - 3\)

d. \(6{x^2} + x - 7\)

Gợi ý đáp án

IV. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) (x² + 3x + 1)(x² + 3x + 2) - 30

b) 4x⁴ - 8x³ + 3x² - 8x + 4

c) 2x⁴ - 15x³ + 35x² - 30x + 8

d) 2x³ - x² + 5x + 3

Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài tập 4: Dùng phương pháp tách hạng tử và thêm bớt cùng hạng tử phân tích các đa thức dưới đây thành nhân tử:

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử (thêm bớt hạng tử)

a) 10x² + 4x - 6

b) x² + 2x - 15