Góc giữa hai mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và Bài tập (có đáp án) Ôn tập Toán 11

Góc giữa hai mặt phẳng là một trong những kiến thức rất quan trọng trong chương trình học lớp 11 và lớp 12. Để giải được các dạng bài tập về góc giữa 2 đường thẳng, các em cần phải nắm vững kiến thức lý thuyết trọng tâm về khái niệm, công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo nên bởi hai đường thẳng với 2 mặt phẳng, hiểu đơn giản thì đó là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là góc khối và nó được giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Vậy sau đây là toàn bộ kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng mời các bạn cùng theo dõi. Ngoài ra các bạn xem thêm Công thức truy hồi.

1. Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

- Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

- Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:

• Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
• Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

2. Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Để có thể xác định chính xác góc giữa 2 mặt phẳng bạn áp dụng những cách sau:

Gọi P là mặt phẳng 1, Q là mặt phẳng 2

Trường hợp 1: Hai mặt phẳng (P), (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc của 2 mặt phẳng bằng 0,

Trường hợp 2: Hai mặt phẳng (P), (Q) không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p vuông góc lần lượt với 2 mặt phẳng (P), (Q). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa 2 đường thẳng n và p.

Cách 2: Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng đầu tiên bạn cần xác định giao tuyến Δ∆của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Tiếp theo, bạn tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến Δ∆của 2 mặt phẳng (P), (Q) và cắt 2 mặt phẳng tại các giao tuyến a, b.

⇒Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa a và b.

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

\(\cos \varphi=|\cos \alpha|=\frac{\left|\vec{n}_{P} \cdot \vec{n}_{Q}\right|}{\left|\vec{n}_{P}\right| \cdot\left|\vec{n}_{Q}\right|}=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} \cdot \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} .\)

4. Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Có 2 phương pháp bạn có thể áp dụng để tính góc giữa 2 mặt phẳng:

Phương pháp 1: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý hàm số sin, hàm số cos.

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là ABCD và độ dài các cạnh đáy bằng a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c mà (Q) giao với (R) = a, (P) giao với (R) = b.

Suy ra 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh SA=a và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).

Gợi ý đáp án

Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), chúng ta sử dụng cách thứ 2.

- Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) chính là BC.

- Bây giờ, ta cần tìm (nếu chưa có sẵn thì chúng ta sẽ tự vẽ thêm) một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến BC này. Bạn nào phát hiện ra đó chính là mặt phẳng (SAB) thì tốt, nếu chưa thì chú ý hai điều sau:

+ Muốn có một mặt phẳng vuông góc với BC thì cần tìm mặt phẳng nào chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng vuông góc với BC.

+ Đường thẳng BC đang vuông góc với những đường thẳng nào (chính là SA và AB).

- Bước tiếp theo, sau khi có mặt phẳng (SAB) rồi, chúng ta sẽ tìm giao tuyến của nó với hai mặt phẳng ban đầu, chính là các đường thẳng AB và SB

- Cuối cùng, chúng ta đi tính góc giữa hai đường thẳng AB và SB, chính là góc SBA, các em hãy tự tính xem góc này bằng bao nhiêu.

Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), các em hãy thực hiện đúng các bước như trên. Gợi ý, góc giữa hai mặt phẳng này chính bằng góc SOA.

5. Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng(P), cạnh AC = a√2 , AC tạo với (P) một góc 60°. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. (ABC) tạo với (P) góc 45°
B. BC tạo với (P) góc 30°
C. BC tạo với (P) góc 45°
D. BC tạo với (P) góc 60°

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc ∠AIB
B. (BCD) ⊥ (AIB)
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc ∠CBD
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC , gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

A. Góc SBA.
B. Góc SCA.
C. Góc SCB.
D. Góc SIA.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD), gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ABS
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠SOA
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠SDA
D. (SAC) ⊥ (SBD)

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A1D1CB) và (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. α = 45°
B. α = 30°
C. α = 60°
D. α = 90°

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ABS
B. (SAC) ⊥ (SBD)
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠SOA
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠SDA

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ∠ABC = 60°. Các cạnh SA ; SB ; SC đều bằng a(√3/2) . Gọi φ là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) . Giá trị tanφ bằng bao nhiêu?

A. 2√5
B. 3√5
C. 5√3
D. Đáp án khác

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB = 2a; AD = DC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. (SBC) ⊥ (SAC)
B. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) song song với AB
C. (SDC) tạo với (BCD) một góc 60°
D. (SBC) tạo với đáy một góc 45°

Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AA’ = a; AD = 2a. Gọi α là góc giữa đường chéo A’C và đáy ABCD. Tính α .

A. α ≈ 20°45'
B. α ≈ 24°5'
C. α ≈ 30°18'
D. α ≈ 25°48'

Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√2 .
B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√3
C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
D. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.

Câu 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a√2 và chiều cao bằng a√2/2 . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?

A. 30°
B. 45°
C. 90°
D. 60°

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60°.

A. x = 3a/2
B. x = a/2
C. x = a
D. x = 2a

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là :

A. ∠CSF
B. ∠BSF
C. ∠BSE
D. ∠CSE

Câu 15: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy D; E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho BD = a(√3/2), CE = a√3 . Góc giữa (P) và (ADE) bằng bao nhiêu?

A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 45°

Câu 16.  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Câu 17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Câu 19. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Câu 20. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt
phẳng cắt nhau cho trước.
D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

6. Bài tập tự luyện

Bài 1 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = \(a\sqrt{3}\). SA = a và SA vuông góc (ABCD) .

1) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAB) và (SCD) vuông góc (SAD)

2) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)

Bài 2 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và vuông góc (ABC).

1) Xác định chân đường cao H kẻ từ S của hình chóp .

2) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAC) .

3) Gọi I là trung điểm SC, chứng minh (ABI) vuông góc (SBC)

Bài 3 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a. Gọi I là trung điểm BC

1) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAI) .

2) Biết góc giữa (SBC) và (ABC) là 60 độ. Tính chiều cao SH cua hình chóp.

Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a.

1) Tính độ dài đường cao hình chóp.

2) M là trung điểm SC. Chứng minh (MBD) vuông góc (SAC).

3) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = 2a ,

AD = CD =a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a.

1) Chứng minh (SAD) vuông góc (SCD) và (SAC) vuông góc (SBC).

2) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính tan φ .

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA = a và SA vuông

góc (ABCD). Tính góc giữa (SBC) và (SCD)

Bài 7 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a \(\widehat{\mathrm{ABC}}=60^{\circ}\) , SA = SB = SC= a .

1) Chứng minh (SBD) vuông góc (ABCD)

2) Chứng minh tam giác SBD vuông .

Bài 8 : Cho tam giác đều ABC cạnh a , I là trung điểm BC và D là điểm đối xứng với A

qua I . Dựng \(\mathrm{SD}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{6}}{2}\) và SD vuông góc (ABC) . Chứng minh :

1) (SAB) vuông góc (SAC) .

2) (SBC) vuông góc (SAD)

Bài 9: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và . Có SA = SB = \(\mathrm{SD}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{3}}{2}\)

1) Chứng minh (SAC) vuông góc (ABCD) và SB vuông góc BC .

2) Tính tang của góc giữa (SBD) và (ABCD) .

Bài 10 : Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau . Gọi I là trung điểm AB .

1) Chứng minh (SAD) vuông góc (SAB) .

2) Tính góc giữa SD và (ABCD) .

3) Gọi F là trung điểm AD . Chứng minh (SCF) vuông góc (SID) .

Bài 11

Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc ABC

a) Xác định góc giữa (ABC) và (SBC)

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)

Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB=SC=SD=a. Tính cosin của góc giữa (SAB) và (SAD).