Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 8 tham khảo. Tài liệu này được áp dụng với cả 3 sách Kết nối tri thức, Cánh diều và Chân trời sáng tạo.

Tài liệu tổng hợp kiến thức lý thuyết về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông kèm theo các dạng bài tập có đáp án và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu hỗ trợ học sinh lớp 8 trong quá trình học tập, ôn luyện tại nhà được tốt hơn. Bên cạnh đó các em tham khảo thêm: Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

I. Lý thuyết các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Từ các trường hợp đồng dạng của tam giác đã học suy ra: Hai tam giác vuông đồng dạng nếu có một trong các điều kiện:

• Một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia;
• Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Ví dụ: Cho tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = 4/3. Tính chu vi của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác A'B'C' bằng 27cm.

II. Các dạng toán về trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng , tỉ số đường cao, tỉ số diện tích để tính toán.

Phương pháp:

+ Từ tam giác đồng dạng suy ra các cặp cạnh tỉ lệ và các góc bằng nhau, suy ra tỉ số diện tích và tỉ số đường cao

+ Từ đó tính cạnh , góc và các dữ kiện cần thiết

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và các vấn đề liên quan.

Phương pháp:

+ Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh tam giác đồng dạng

+ Từ đó suy ra các hệ thức cần chứng minh

III. Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 1: Cho một tam giác vuông, trong đó cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm. Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền.

Gợi ý đáp án

∆ABC vuông tại A có đường cao AH, BC = 20cm, AB = 12cm. Ta tính HC.

Ta có: ∆ABH ∽ ∆CBA vì:

\(\widehat B\) chung

\(\widehat{H} = \widehat{A}=90^o\)

\(\Rightarrow \dfrac{AB}{CB}= \dfrac{BH}{BA}\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)

\(\Rightarrow AB^2= HB.CB\)

\(\Rightarrow BH = \dfrac{AB^{2}}{CB}= \dfrac{12^{2}}{20} = 7,2 \,(cm)\)

\(\Rightarrow CH = BC - BH = 20 - 7,2 = 12,8\,cm\)

Bài 2: Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài 25cm và 36cm. Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó 

Gợi ý đáp án

∆AHB ∽ ∆CHA (g.g) vì \(\widehat{AHB} = \widehat{AHC}=90^o , \widehat{BAH} = \widehat{ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAC}\))

\(\Rightarrow \dfrac{AH}{CH }= \dfrac{BH}{AH}\)

\(\Rightarrow A{H^2}=CH.BH = 25.36\)

\(\Rightarrow A{H^2}= 900 \Rightarrow AH = 30cm\)

Vậy \(S_{ABC} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.30.(25 + 36) = 915 cm2\)

Áp dụng Py-ta-go cho 2 tam giác vuông ABH và ACH ta được:

\(\begin{array}{l} A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {25^2} + {30^2} = 1525\\ \Rightarrow AB \approx 39,05cm\\ A{C^2} = C{H^2} + A{H^2}\\ \Rightarrow A{C^2} = {36^2} + {30^2} = 2196\\ \Rightarrow AC \approx 46,86cm \end{array}\)

Chu vi tam giác ABC là: P = AB + AC + BC= 39,05 + 46,86 + 61 = 146,91cm

Bài 3: Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đất có độ dài là 36,9m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 1,62m. Tính chiều cao của ống khói 

Gợi ý đáp án 

Giả sử thanh sắt là A'B', có bóng là A'C'.

Vì ống khói và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai tam giác ABC và A'B'C' đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng chiếu nên ta suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {A'C'B'}\)

\(\Rightarrow\) Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' đồng dạng (hai tam giác vuông có hai góc nhọn bằng nhau)

\(\Rightarrow \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'}\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)

\(\Rightarrow AB= \dfrac{A'B'.AC}{A'C'}\)

\(\Rightarrow AB= \dfrac{2,1.36,9}{1,62}\)

\(\Rightarrow AB ≈ 47,8m\)

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, chân đường cao AH của tam giác ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng BH = 4cm, HC = 9cm. Tính diện tích tam giác ABC?

A. S_ABC = 39cm²
B. S_ABC = 36cm²
C. S_ABC = 78cm²
D. S_ABC = 18cm²