Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo trang 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25.

Giải bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 Bài 3 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài 3 Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Eballsviet.com:

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1 trang 24, 25

Bài 1

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}}\)

b) \(y = \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}}\)

c) \(y = \frac{{5x}}{{3x - 7}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}}\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{3}{2} \right \}\)

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2} ^+} f(x) =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}^+} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} =+\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2} ^-} f(x) =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}^-} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} =-\infty\)

Vậy đt \(x=\frac{3}{2}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow + \infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} =2\)

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} =2\)

Vậy đt y = 2 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) \(y = \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}}\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{3}{4} \right \}\)

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow \frac{3}{4} ^+} f(x) =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{4}^+} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} =+\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow \frac{3}{4} ^-} f(x) =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{4}^-}\frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} =-\infty\)

Vậy đt \(x=\frac{3}{4}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow + \infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} =-\frac{ 1}{ 2}\)

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} =-\frac{ 1}{ 2}\)

Vậy đt \(y=-\frac{1}{2}\) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) \(y = \frac{{5x}}{{3x - 7}}\)

Bài 2

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}\)

b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)

c) \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}\)

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow 2 ^+} f(x) =\lim_{x\rightarrow 2^+} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} =+\infty ;\) \(\lim_{x\rightarrow 2^-} f(x) =\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} =-\infty\)

Do đó, x = 2 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(a= \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{f(x)}{x} =\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{2x^2 - 4x}} = \frac{ 1}{ 2}\)

\(b= \lim_{x\rightarrow +\infty } [f(x)-\frac{1}{ 2} x] =\lim_{x\rightarrow +\infty } \left ( \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} -\frac{ 1}{ 2} x \right )\)

\(=\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{{2x+2}}{{2x-4 }} =1\)

Ta cũng có \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{f(x)}{x} =\frac{ 1}{ 2}\); \(\lim_{x\rightarrow -\infty } [f(x)-\frac{ 1}{ 2} x] =1\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đt \(y=\frac{1}{2}x +1\).

b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -2 \right \}\)

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow -2 ^+} f(x) =\lim_{x\rightarrow -2^+} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} =+\infty ;\) \(\lim_{x\rightarrow -2^-} f(x) =\lim_{x\rightarrow -2^-} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} =-\infty\)

Do đó, x = - 2 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(a= \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{f(x)}{x} =\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x^2 + 2x}} = 2\)

\(b= \lim_{x\rightarrow +\infty } [f(x)-2 x] =\lim_{x\rightarrow +\infty } \left ( \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} -2x \right )\)

\(=\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{{-7x-6}}{{ x+2 }} =-7\)

Ta cũng có \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{f(x)}{x} =2\); \(\lim_{x\rightarrow -\infty } [f(x)-2x] =-7\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đt y = 2x - 7.

c) \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)

Bài 3

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số \(y=\frac{2x-3}{5x^2-15x+10}\) có:

TCĐ: đường thẳng x = 1; x = 2

TCN: đường thẳng y = 0

b) Hàm số \(y=\frac{x^2+x-1}{x}\) có:

TCĐ: đường thẳng x = 0

TCX: đường thẳng y = x + 1.

c) Hàm số \(y=\frac{16x^2-8x}{16x^2+1}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Bài 4

Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức \(y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^{2}+1 }\) , với y được tính theo mg/l và t được tính theo giờ, t ≥ 0. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = y(t). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian t trở nên rất lớn.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số \(y=y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^{2}+1 } =\frac{45t^2-15t+5}{9t^{2}+1 }\)

TXĐ: \((0;+\infty)\)

Ta có: \(\lim_{t\rightarrow + \infty} y(t) =\lim_{t\rightarrow + \infty} \frac{45t^2-15t+5}{9t^{2}+1 } =5\)

Vậy đường thẳng y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = y(t).

NX: nồng độ oxygen trong hồ càng gần bằng 5mg/l khi thời gian t càng lớn.

Bài 5

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt \(m=m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\) trong Khởi động (trang 19).

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: D = (0; c].

Ta có: \(\lim_{v\rightarrow 300\ 000^- } m(v) =\lim_{v\rightarrow 300\ 000^-} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{300\ 000^2}}}} }} = + \infty\)

Do đó v = 300 000 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.