Tài liệu tự học bất đẳng thức và bất phương trình Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10

Tải về Bình luận

Nhằm giúp các em học sinh lớp 10 học tốt chương trình Đại số 10 chương 4, Eballsviet.com xin giới thiệu đến các em tài liệu tự học bất đẳng thức và bất phương trình.

Tài liệu gồm 95 trang với đầy đủ lý thuyết, dạng toán và bài tập các chủ đề: bất đẳng thức, GTLN – GTNN, dấu của nhị thức bậc nhất, dấu của tam thức bậc hai, bất phương trình, hệ bất phương trình. Hy vọng với tài liệu này các bạn có thêm nhiều tài liệu học tập, củng cố kiến thức để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi sắp tới.

Tài liệu tự học bất đẳng thức và bất phương trình

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 1

Phần 1

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT



Phần 1. BẤT ĐẲNG THỨC. GTLT - GTNN ................................................................................ 1

Chủ đề 1. BẤT ĐẲNG THỨC ......................................................................................................... 1

Dạng 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất ....................................................... 4

Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) ....................................................... 7

Dạng 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz ....................................................... 11

Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S ........................................................................ 12

Dạng 5. Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ ..................................................................... 13

Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối .............................................................................. 14

Dạng 7. Sử dụng phương pháp làm trội ................................................................................. 15

Dạng 8. Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT ........................................................................ 16

Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức ............................................................................ 18

Chủ đề 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ........................................................ 21

Dạng 1. Dùng tam thức bậc hai ............................................................................................. 21

Dạng 2. Dùng BĐT Cauchy ................................................................................................... 22

Dạng 3. Dùng BĐT C.B.S ...................................................................................................... 24

Dạng 4. Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối ......................................................................... 25

Dạng 5. Dùng tọa độ vectơ ................................................................................................... 26

Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN ............................................................................ 27

BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 1 .................................................................................................... 29

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 1 ............................................................................................. 32

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình 2

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

1. Tính chất:

Điều kiện Nội dung

Cộng hai vế với số bất kì

a < b



a + c < b + c

(1)

Bắc cầu

a < b và b < c



a < c

(2)

Nhân hai vế

c > 0

a < b



ac < bc

(3a)

c < 0

a < b



ac > bc

(3b)

Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều

a b

a c b d

c d





   







(4)

Nhân 2 vế BĐT khi biết nó dương: a >

0, c > 0

a b

ac bd

c d

 



 



 



(5)

Nâng lên lũy

thừa với n





Mũ lẻ

2 1 2 1n n

a b a b

 

  

(6a)

Mũ chẵn

2 2

n n

a b a b   

(6b)

Lấy căn hai vế

0a 

a b a b  

(7a)

a bất kỳ

3 3

a b a b  

(7b)

Nghịch

đảo

a, b cùng dấu

1 1

a b

  

(8a)

a, b khác dấu

1 1

a b

  

(8b)

 Lưu ý:

 Không có qui tắc chia hai về bất đẳng thức cùng chiều.

 Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương.

 Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi.

2. Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác:

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có:

 , , 0a b c 



a b c a b   



b c a b c   



c a b c a   

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:



x x x  

, với mọi số thực x



0; ;x x x x x   

, với mọi số thực x



x a a x a    

với a





x a x a   

hoặc x a với a



 Định lí:



a, b ta có: a b a b a b     .

Tóm t

ắt lí thuyết

Chủ

đề

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 3

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

(Bất đẳng thức Cô-si hay AM-GM)

 Định lí: Với hai số không âm a, b ta có:

a b





hay 2

a b ab

  hay

a b



 



 

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

 Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất

khi hai số đó bằng nhau.

Tức là với hai số dương a, b có a + b = S không đổi thì:

2 2

max

2 ( )

4 4

S S

ab S ab ab     , đạt được khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

 Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng lớn nhất

khi hai số đó bằng nhau.

Tức là với hai số dương a, b có a. b = P không đổi thì:

min

2 ( ) 2

a b P a b P

    

, đạt được khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

 Mở rộng:

① Với các số a, b, c không âm, ta có:

a b c

abc

 

 hay

a b c abc

  

hay

a b c

abc

 

 



 

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

② Với n số a

, a

, …, a

không âm, ta có:

1 2 3

...

a a a a

   



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a

= a

= … = a

5. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (chứng minh trước khi dùng)



Dạng tổng quát:

Cho 2n số thực tùy ý a

, a

, …, a

, b

, …, b

,khi đó:

 Dạng 1:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

( ... ) ( ... )( ... )

n n n n

a b a b a b a a a b b b

         

Dấu “=” xảy ra



1 2

...

a a

b b b

  

 Dạng 2:

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

... ( ... )( ... )

n n n n

a b a b a b a a a b b b

         

Dấu “=” xảy ra



1 2

...

a a

b b b

  

 Dạng 3:

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

... ( ... )( ... )

n n n n

a b a b a b a a a b b b

         

Dấu “=” xảy ra



1 2

... 0

aa a

b b b

   



Hệ quả:

 Nếu

1 1 2 2

...

n n

a x a x a x c

   

là hằng số thì:

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2 1 2

min( ... ) ...

...

n n

x xc

x x x

a a a a a a

       

  

Chia sẻ bởi:

Trịnh Thị Thanh

Tải về

Liên kết tải về

Tài liệu tự học bất đẳng thức và bất phương trình 2,3 MB Tải về

Tìm thêm: Toán 10

Có thể bạn quan tâm

Xem thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!