Chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán
Chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng gồm 66 trang tổng hợp toàn bộ kiến thức về bất đẳng thức xoay vòng kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Hi vọng qua tài liệu này giúp các bạn lớp 12 học tập chủ động, nâng cao kiến thức để đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia sắp tới. Nội dung chi tiết chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng bao gồm:
Chương 1: Bất đẳng thức xoay vòng (Trình bày những kết quả đã có về các bài bất đẳng thức phân thức)
- Bất đẳng thức Schur và hệ quả
- Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác
- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số dạng bất đẳng thức xoay vòng
- Bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Chương 2: Một dạng bất đẳng thức xoay vòng (Xây dựng bất đẳng thức với các trường hợp đơn giản, tổng quát bài toán)
Chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng
Chương 1
Bất đẳng thức xoay vòng
1.1 Bất đẳng thức Schur
1.1.1 Bất đẳng thức Schur và hệ quả
Bài 1 (Bất đẳng thức Schur)
Với x, y, z là các số thực dương, λ là một số thực bất kì, chứng minh rằng:
\(x^\lambda(x-y)(x-z)+y^\lambda(y-z)(y-x)+z^\lambda(z-x)(z-y) \geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi và̀ chỉ khi x=y=z
Chứng minh
Chú ý rằng khỉ ơ hai biến số bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đính Chẳng hạn khi y=z ta có \(x^A(x-z)^2 \geq 0\). Dầu { }^*={ }^" xảy ra khi x=y=z. Không má́t tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng x>y>z
+ Xét trường hợp \(\lambda \geq 0\)
Bất đẳng thức ó thể viết lại dử dạng:
\((x-y)\left[x^\lambda(x-z)+y^\lambda(y-z)\right]+z^\lambda(z-x)(z-y) \geq 0\)
Sử dụng điều kiện x>y ta thu được
\(M>(x-y)(y-z)\left(x^\lambda-y^\lambda\right)+z^\lambda(x-z)(y-z)>0,(\forall \lambda>0)\)
do đó bất đẳng thức
+ Xét trường hợp\(\lambda<0\)
\(M=x^\lambda(x-y)(x-z)+(y-z)\left[z^\lambda(x-z)-y^\lambda(x-y)\right]\)
Sử dụng điều kiện y>z (hay x-z>y-z ) ta có:
\(M>x^\lambda(x-y)(x-z)+(y-z)(x-y)\left(z^\lambda-y^\lambda\right)>0,(\forall \lambda<0)\)
Vậy bất đẳng thức cần được chứng minh
Bài 2 (Bất đẳng thức Schur mở rộng)
Gia sư I là mọt khoảng thuộc R và f: \(\mathbb{I} \longrightarrow \mathbb{R}\)+ là một hàm đơn điệu hay
\(f^{\prime \prime}(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{I}. Với x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{I}\), chứng minh rằng:
\(f\left(x_1\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)+f\left(x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_2-x_1\right)+f\left(x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right) \geq 0\)
Dấu " = "xảy ra khi và chỉ khi \(x_1=x_2=x_3.\)
Chứng minh
Vì f là hàm số hay \(f^{\prime \prime}(x) \geq 0, x \in \mathbb{I}\) nên ta có bất đẳng thức
\(f[\lambda x+(1-\lambda) y]<\frac{f(x)}{\lambda}+\frac{f(y)}{1-\lambda}\)
............
Tải file tài liệu để xem thêm Chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Chủ đề liên quan
Có thể bạn quan tâm
-
Văn mẫu lớp 11: Nghị luận về giới hạn trong cuộc sống (2 Dàn ý + 10 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 9: Đoạn văn nghị luận hậu quả của chiến tranh (5 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 11: Tổng hợp mở bài về bài thơ Lưu biệt khi xuất dương (27 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 10: Phân tích người anh hùng Đăm Săn trong Chiến thắng Mtao Mxây
-
Bộ 10 đề thi học kì 1 môn Toán lớp 3
-
Sơ đồ tư duy môn Địa lý lớp 12 - Ôn thi THPT Quốc gia 2024 môn Địa
-
Kỹ thuật Vi xử lý - Tài liệu học Kỹ thuật vi xử lý
-
Văn mẫu lớp 9: Phân tích đoạn trích Cảnh ngày xuân của Nguyễn Du (Sơ đồ tư duy)
-
Bộ đề thi học kì 2 lớp 8 năm 2023 - 2024 (Sách mới)
-
Văn mẫu lớp 11: Phân tích truyện ngắn Chí Phèo của Nam Cao
Mới nhất trong tuần
-
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán Sở GD&ĐT Thái Nguyên
100+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Hàm Rồng
1.000+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Nông Cống 4
100+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Thạch Thành 4
100+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Quan Hóa
100+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Sầm Sơn
100+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Đô Lương 1, Nghệ An
100+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Thanh Miện, Hải Dương
5.000+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Hoàng Lê Kha, Thanh Hóa
100+ -
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2025 môn Toán trường THPT Cẩm Thủy 2, Thanh Hóa
100+